习题2.3课堂实录及点评

直线、平面垂直的判定及其性质教案

教学要求：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

知

识

梳

理

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

一条直线与一个平面内判定定理

的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

a∩b＝O⇒l⊥α

a⊂αb⊂αl⊥ba⊥α⇒a∥b

b⊥αl⊥a性质定理

两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

2.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理

判定

定理

文字语言

一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直

图形表示

符号表示

l⊥α⇒α⊥β

l⊂β

如果两个平面互相垂性质

定理

直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

诊

断

自

测

考点一

线面垂直的判定与性质

α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α

【例1】

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，

AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

规律方法

(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：

①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α). (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想

考点二

面面垂直的判定与性质

【例2】

(2015·山东卷)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点. (1)求证：BD∥平面FGH；

(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.

规律方法

(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理. (2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 【例3－1】

(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：

(1)直线DE∥平面A1C1F；

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

规律方法

(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 命题角度二

平行垂直中探索性问题

【例3－2】

如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点. (1)证明：AE∥平面BDF. (2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

规律方法

(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给

出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性. (2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.

[思想方法] 1.证明线面垂直的方法：

(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

m，n⊂α，m∩n＝A⇒l⊥α；

(2)判定定理1：l⊥m，l⊥n(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β；

2.证明面面垂直的方法

(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 3.转化思想：垂直关系的转化

[易错防范] 1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件. 2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视. 3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误. 4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化. 作业：训练1，2，3