习题2.3教学目标设计

垂直问题

自主复习知识要点：

1、直线与平面垂直

项目

图形

条件

结论

判定

a⊥b，b⊂α(b 为α内的任意直线) a⊥α

a⊥m，a⊥n，m，n⊂α，m∩n＝O

a⊥α

a∥b，a⊥α

a⊥α，b⊂α

性质

定理

a⊥α，b⊥α

文字语言

图形语言

2、平面与平面垂直

b⊥α

a⊥b a∥b 符号语言

l⊂β，l⊥α如果一个平面经过另

判定

一个平面的一条垂

定理

线，那么这两个平面

互相垂直

⇒α⊥β

如果两个平面垂直，

性质

那么在一个平面内垂

定理

直于它们交线的直线

垂直于另一个平面

α⊥β，α∩β＝a，

l⊂β，⇒l⊥α

l⊥a

3、直线与平面所成的角:平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0°，90°)．斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

1

题组一：重难点突破：位置关系判断题

1、给定空间中的直线

l 及平面α，条件“直线

l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线

l 与平面α垂直”的（

）

A．充要条件

B．充分非必要条件

C．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

2、（2013年全国Ⅱ卷第4题）已知m,n为异面直线，m平面，n平面，且直线l满足lm，ln，l，l，则（

）

A．//且l//

B.且l

C.与相交，且交线垂直于l

D.与相交，且交线平行于l

3、(2015年浙江)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，(

) A．若l⊥β，则α⊥β

B．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥β

D．若α∥β，则l∥m

4、(2014年浙江)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(

) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

5、如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，

则下列四个命题：①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；

③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确命题的个数是________．

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

题组二：

重难点突破：垂直问题证明题

1、(2014 年山东《总》P145例1)如图，在四棱锥

P-ABCD 中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝1BC＝2AD，E，F分别为线段AD，PC 的中点．

求证：(1)AP∥平面 BEF；

(2)BE⊥平面 PAC.

【规律方法】直线与直线垂直⇒直线与平面垂直⇒平面与平面垂直⇒直线与平面垂直⇒直线与直线垂直，通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题．出现中点时，平行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆周上的点时，联想到直径所对的圆周角为直角；勾股定理也是常用手段．

2

2、(2016年江苏《总》P145例2)如图 8-5-4，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求证：(1)直线 DE∥平面 A1C1F；

(2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F.

【规律方法】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型。

①证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．②证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．

③证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．④证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．

题组三：重难点突破：直线与平面所成的角

1、(2013 年大纲《总》P147互动3)已知正四棱柱

ABCD-A1B1C1D1 中，AA1＝2AB，则

CD 与平面

BDC1

所成角的正弦值等于（ ）A. B.23132 C. D.

3332、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D与BC1 π所成的角为，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(

) 261153A.

B.

C.

D.

32523、 (2016 年天津《总》P146例3)如图，四边形

ABCD 是平行四边形，平面

AED⊥平面

ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝

6，DE＝3，∠BAD＝60°，G 为

BC 的中点．

3 (1)求证

FG∥平面

BED；(2)求证平面

BED⊥平面

AED；

(3)求直线

EF 与平面

BED 所成角的正弦值．

题组四：课后巩固

1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(

) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

2．设a，b为两条直线，α，β为两个平面．下列四个命题中，正确的命题是(

) A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b

B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b

C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β

D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b

3．(2016年新课标Ⅱ) α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角

和n与β所成的角相等．其中正确的命题有______．(填写正确命题的编号)

4．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB 与平面ABC所成的角等于________．

5. （2013年全国Ⅰ卷第18题）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160. （Ⅰ）证明：ABA1C；（Ⅱ）若平面ABC平面AA1C与平1B1B，ABCB，求直线A面BB1C1C所成角的正弦值.

CC1BB1AA16. （2007年海南宁厦卷第18题）如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90，O为BC中点．

（Ⅰ）证明：SO平面ABC；（Ⅱ）求二面角ASCB的余弦值．

S

O

C

B

4 A

垂直问题参考答案

题组一：1、C 2、D 3、A 4、C 5、C 题组二：1、证明：(1) 设

AC∩BE＝O，连接

OF，EC. 由于

E 为

AD 的中点，AB＝BC＝∴AE1AD，AD∥BC. 2BC.∴四边形

ABCE 为平行四边形．

又

AE＝AB，则▱ABCE 为菱形．

∴O 为

AC 的中点．

又

F 是

PC 的中点，∴在△PAC 中，PA ∥OF. ∵OF⊂平面

BEF，且PA

平面

BEF，∴AP∥平面

BEF. (2)由题意知，ED∥BC，ED＝BC，

∴四边形

BCDE 为平行四边形．

因此

BE∥CD.又

AP⊥平面

PCD，

∴AP⊥CD.因此

AP⊥BE.∵四边形

ABCE 为菱形，

∴BE⊥AC.又

AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面

PAC ，∴BE⊥平面

PAC . 2、证明：(1)在直三棱柱

ABC-A1B1C1

中，AC∥A1C1，

在三角形

ABC 中，因为

D，E 分别为

AB，BC 的中点．

所以

DE∥AC，于是

DE∥A1C1，

又因为

DE

平面

A1C1F，A1C1⊂平面

A1C1F，

所以直线

DE∥平面

A1C1F. (2)在直三棱柱

ABC-A1B1C1

中，AA1⊥平面

A1B1C1，

因为

A1C1⊂平面

A1B1C1，所以

AA1⊥A1C1. 又因为

A1C1

⊥

A1B1

，

AA1

⊂平面

ABB1A1

， A1B1

⊂平面ABB1A1，A1B1∩AA1＝A1，

所以

A1C1⊥平面

ABB1A1. 因为

B1D⊂平面

ABB1A1，所以

A1C1⊥B1D，

又因为

B1D⊥A1F，A1C1⊂平面

A1C1F，A1F⊂平面

A1C1F，

A1C1∩A1F＝A1，

所以

B1D⊥平面

A1C1F. 因为直线

B1D⊂平面

B1DE，

所以平面

B1DE⊥平面

A1C1F. 题组三：1、A

2、B

5

3、解：(1)证明：取

BD 的中点为

O，连接

OE，OG. 在△BCD 中，因为

G 是

BC 的中点，

所以OG∥DC，且OG＝1DC＝1.又因为

EF∥AB，AB∥DC，

2所以

EF∥OG，且

EF＝OG，即四边形

OGFE 是平行四边形．

所以

FG∥OE，又FG 平面

BED，OE⊂平面

BED，所以

FG∥平面

BED. (2)证明：在△ABD 中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，

由余弦定理可得

BD＝ 3进而又因为平面

AED⊥平面

ABCD，BD⊂平面

ABCD，平面

AED∩平面

ABCD＝AD，

所以

BD⊥平面

AED.可得∠ADB＝90°，即

BD⊥AD.又因为

BD⊂平面

BED，

所以平面

BED⊥平面

AED. (3)解：因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成角即为直线AB与平面BED所成角．

过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又因为平面BED∩平面AED＝ED，由(2)知AH⊥平面BED. 所以直线AB与平面BED所成角即为∠ABH. 在△ADE中，AD＝1，DE＝3，AE＝6，

25由余弦定理可得cos∠ADE＝，所以sin∠ADE＝. 335因此AH＝AD·sin∠ADE＝. 3在Rt△AHB中，sin∠ABH＝AH5＝，

AB65.

6所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为题组四：1、B 2、D 3、②③④

4、45

5、【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE,A1B,A1E. ABAA1，BAA160，BAA1是正三角形，

A1EABCACBCEAB

6

CEA1EE，AB平面CEA1，

而A1C平面CEA1，ABA1C. （Ⅱ）由（Ⅰ）知ECAB，A1EAB，

又∵平面ABC平面AA1B1B，平面ABC平面AA1B1BAB，EC平面ABC，

EC平面AA1B1B，

z

C

C1

EA1平面AA1B1B，

ECEA1，

EA,EC,EA1两两相互垂直，以E为坐标原点，

B

E

x

B1A

A1

y

EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，

建立如图所示空间直角坐标系Oxyz. 由题设知A(1,0,0)，A1(0,3,0)，

C(0,0,3)，B(1,0,0)，

则BC(1,0,3)，BB1AA,0,3)，A1C(0,3,3)，

1(1设n(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量，

x3z0nBC0则，即，可取n(3,1,1)，

x3y0nBB10所以cosn,A1CnA1C|n||A1C|10，

5即直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为

7 10. 5

6、证明：

=SB=SC（Ⅰ）由题设AB=ACSA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OAOBOC2SA，且AOBC，又△SBC为等腰三角形，故SOBC，且2SO又AO2222，从而OASOSA．所以△SOA为直角三角形，SOAO．

SA2BOO．所以SO平面ABC．

MSCA，MSC，得O．

（Ⅱ）解法一：

OOCSA，AC取SC中点M，连结AM，OM，由（Ⅰ）知S∴OMA为二面角ASCB的平面角．

由AOBC，AOSO，SOBCO得AO平面SBC．

3SA，

所以AOOM，又AM2故sinAMOz

S

AO26．

AM333．

3O

M

C

所以二面角ASCB的余弦值为解法二：

x

B

A

y

以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz．

，0，0)，则C(1，0，，0)A(01，，，0)S(0，01)，．

设B(1111111SC的中点M，0，，MO，0，，MA，1，，SC(1，0，1)．

222222∴MO·SC0，MA·SC0．故MOSC，MASC，

3所以二面角ASCB的余弦值为

3．

38