复习参考题教学设计实例

“立体几何中的动点问题”的教学设计及教学反思

闫祺

（北京市第五十五中学）

摘要：本节课是必修二立体几何的复习课．借助动点问题探讨，在动与静、特殊与一般的相互转化中，进一步加强学生对空间几何的认识，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力．整节课把正方体贯穿始终，突出重点的线面位置关系，逐步突破教学难点，取得良好的教学效果．

关键词：立体几何；动点问题；线面位置关系

教学目标

（1）借助对正方体的研究，进一步加强线面位置关系的认识．

（2）通过动点问题的探究，体会动与静、特殊与一般的相互转化关系，培养和发展几何直观能力、空间想象能力．

教学重点

培养学生空间想象能力和逻辑推理能力

教学难点

动与静、特殊与一般位置的相会转化

学情分析

学生已经学习了必修二立体几何的两章内容：“空间几何体”和“点、直线、平面之间的位置关系”，对于立体几何有简单的空间认识和逻辑推理能力．学生基础较好，思维比较敏捷，有一定合作探究能力．

教学方法

从学生的认知出发，借助正方体的探究，由浅入深，运用启发式、讨论法等引导学生主动思考、积极参与．

教学过程

环节1：基础引入，提炼特殊位置关系

引语：同学们，之前我们学习了立体几何丰富的内容，感受到了立体几何的魅力。我们要多观察、多思考，不断培养我们的空间想象能力和逻辑推理能力．我们常说：“点动成线、线动成面”，一方面是从动态的角度描述直线和平面的形成过程，更重要的也是再告诉我们一个几何学的观点：确定点的位置要靠直线，确定直线的位置需要平面．今天，我们就一起

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来探讨一下立体几何中的动点问题．

问题1：在正方体ABCDA1B1C1D1中，证明：ACBD1

课堂实录：该问题让学生很容易上手，尽快进入课堂学D1B1C1A1习状态．教师请学生把解题思路表达清楚，准确描述证明过程，并且加以引导，使学生在叙述中提炼出特殊的线面位置关系DBCAC面BB1D1D．

A【设计意图】学生之前已经完成了立体几何的初步学习，通过简单问题的引入，让学生温习线面位置关系，巩固逻辑推理过程．

环节2：引入动点，探索特殊位置与一般位置

在立体几何中，存在着丰富的线面关系，除了刚才这些特殊的位置，我们能否探讨更多、更丰富的位置呢？

练习1：在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点N是BC中D1A1MDAD1FMDB1C1B1点，动点M在四边形CC1D1D及其内部运动，则M满足什么条件时，使得MNAC．

课堂实录（生）：学生通过动手画图，发现在面CC1D1D上，CBN可以找到一些特殊的点，比如线段CD的中点E和线段C1D1的中点C1F，可以使得NEAC，NFAC．因此，当点M在线段A1EF上移动时，就形成了一个平面EFN，使得平面EFNAC．

课堂实录（师）：根据我们刚才的学习，在正方体中有AC面BB1D1D，因此我们可以平移平面BB1D1D经过点EBCNAN．这样就构造出了一个平面与AC垂直，并且与平面CC1D1D相交于一条线段，即点MD1C1的运动轨迹．

练习2：在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面A1B1PDBCBB1C1C及其内部运动，则点P满足什么条件时，使得APBD1

A

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课堂实录（生）：根据前面的学习可以发现，在平面BC1中，存在着特殊的点C和点B1，他们可以使得AC平面BB1D1D，AB1平面A1BCD1，因此可以得到ACBD1，AB1BD1．那么，就可得出点P在线段CB1上移动满足条件．

课堂实录（师）：学生完成证明后，教师进一步追问：

（1）连接ACB1，这是个特殊三角形吗？

D1A1B1PDC1（2）这个三角形所在平面与体对角线BD1有什么位置关系吗？

（3）类似ACB1，在正方体中还有其他平面与体对角线BD1垂直吗？

CBA学生独立思考，相互讨论，在此基础上教师引导学生，进一步帮提炼重要的线面位置关系体对角线BD1平面ACB1，即正方体的体对角线垂直于面对角线围成的等边三角形所在平面．

【设计意图】通过两个练习，进一步加强正方体中典型线面位置关系的认识，形成良好的空间想象，建立模型，为后续的问题难点突破做好铺垫工作．

环节3：创设活动，应用动点问题

问题2：(2013年北京文科第8题)在正方体A1D1B1PBC1ABCDA1B1C1D1中，当点P在BD1三等分点时，点P到各个顶点距离的不同取值有（

）

A.3种

B.4种

C.5种

D.6种

DAC这个问题学生入手难度比较大，因此在解题之前，加了这样一个问题：

点P是BD1的中点时，点P到各个顶点的距离有什么特征？

【设计意图】通过该问题，帮助学生过渡难点．学生可以很快得到结论，此时点P到各个顶点的距离相等．另外，因为之前遇到的点，大都在正方体的棱上或者面内，而该题把点放在了正方体的内部，对学生的空间想象能力要求比较高．这时，需要给学生留出大量的思考时间，充分考虑由特殊点到一般点，再回到特殊点的位置关系．

学生们开始动手画图，不断尝试，都在积极参与解题过程，课堂中也同时呈现了热闹的讨论氛围．很显然，课堂开始的引入和铺垫起到了作用，学生们的思路也在不断的丰富．

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课堂实录1（生）：学生过点P向底面做垂线，通过构造全等三角形，得出对应边相等．

课堂实录2（生）：学生从体对角线BD1的中点联想到，把点P移动到更为特殊的位置点B处．利用极限思想可以发现，点P到各个顶点的距离可以有四种不同取值．

课堂实录3（师）：既然点P在体对角线上移动，那么之前我们D1研究了在正方体内，体对角线与面对角线围成的等边三角形所在平A1B1C1面垂直，这时，点P与等边三角形A1C1D就可以有怎样的联系呢？当点P在体对角线上移动时，我们观察三棱锥PA1C1D有什么特征？不难发现，这是一个正三棱锥，因此点P到点ADPBCA1、C1、D的距离相等。故而可以得出点P到各个顶点的距离可以有四种不同取值．

【设计意图】在很多该题的解析中，都是通过向量的方式进行解题．本题的引入，希望学生在掌握逻辑推理的同时，不断加强空间想象能力，把熟悉的问题，典型的问题加入到解法中，往往能够达到事半功倍的效果．

环节4：乘胜追击，延续动点问题

我们研究了正方体中点到点的距离问题，下面我们继续拓展问题，进一步研究点到线、点到面的距离问题．始终抓住正方体的特征，借助典型的线面位置关系，把空间想象和逻辑推理相结合起来．

问题3：(2013年北京理科第14题)在正方体A1D1B1PDEABFC1ABCDA1B1C1D1中，若点E为BC的中点时，动点P在线段D1E上，则点P到棱CC1距离的最小值为__________．

问题4：(2010年北京理科第8题)在正方体CD1EC1ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，点E、F在棱A1B1上，A1点P在棱AD上，点Q在棱CD上，若EF1，A1Ex，B1DPDQy，

DPz则四面体EFPQ的体积（

）

A．与x、y、z都有关

B．与x有关，与y、z无关

C．与y有关，与x、z无关D．与z有关，与x、y无关

QBCA学生分组讨论，积极参与，依然借助正方体典型的线面位置关系，有的同学开始借助三

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视图；有的同学开始入手研究特殊位置；还有的同学考虑划分图像，利用转化思想．教师引导学生，把解题的思路和分析过程表达清楚．

【设计意图】从点到点的距离延伸到点到线、点到面的距离问题，几个问题层层递进，不断深入提高，继续巩固学生对于正方体这个特殊图形的认识．

环节5：归纳总结

最后，我们一起回顾今天的这节课，我们再次温习了正方体中特殊的线面位置关系，得到了很多特殊结论．正方体的面对角线垂直于对应的对角面；正方体的体对角线垂直于对应的面对角线围成的等边三角形所在平面．

在概括过程中，我们通过对动点问题的探究，不断体会“点动成线、线动成面”的过程，把动与静、特殊与一般相互结合，相互转化，进一步加强空间想象能力，始终把点、线、面的位置关系作为立体几何研究的核心问题．

教学特点和反思

1．围绕基本图形，强化线面关系

整个教学过程始终围绕正方体进行，重点研究面对角线、体对角线的相关位置关系，为后续深入学习和研究动点问题做好铺垫工作．

2．循序渐进，考虑学生的认知过程

本节课从学生熟悉的问题入手，让学生容易掌握并且进入学习状态．随后，通过练习和问题逐步引入动点，利用点动成线、线动成面，找到解题的思路和突破口．

3．学生讨论充分，课堂参与度高

本节课把动与静、特殊与一般相结合，学生可以充分发挥空间想象力，积极参与讨论．尤其是寻找特殊位置，很多学生还利用了极限思想考虑问题。对于每一个课堂环节，都有教师和学生交流与思考，充分体现了良好的师生互动与生生互动．

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