探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积课件配套优秀教案设计

探究与发现(必修2 第一章）

祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积教学设计

河北省唐县第一中学：邵玉兰

一．教材分析：

《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》是新课标人教A版高中数学必修二第一章《空间几何体》第三节后面的探究与发现内容。是在学生们已经认识了简单几何体、组合体、三视图及知道了柱体、锥体、球体体积公式的基础上来学习研究的。本节内容主要是通过数学实验法，利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积。本节内容的设计，一方面让学生通过了解祖暅这位伟大的数学家，对祖暅原理产生浓厚的探究兴趣；另一方面通过本节内容的学习，学生们不仅可以掌握棱柱、棱锥、球的体积公式，还可以利用祖暅原理求一些不规则几何体的体积，可以进一步提高学生们的空间想象能力，也激发了学生强烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。

二．学情分析：

学习本节内容时学生已经进入高一下学期了，而且这部分学生也是基础较好的学生，他们思维敏捷、善于观察，养成了从多角度思考问题的好习惯，有较强的计算能力和逻辑推理能力。在将近一年的高中数学学习中，学生们已经基本形成了观察、猜想、推理、实验、证明、进而得出结论的数学思想方法与过程，有较强的动手操作能力，他们善于利用集体的智慧来解决问题。在本课的数学学习中，通过实物展示、动画演示、动手实验等一系列比较形象直观的过程，让学生们产生了浓厚的学习兴趣和探索欲望，激励他们主动分组讨论、合作探究，完成了由观察到猜想、由猜想到实验、由实验到推理、由推理到证明这一系列的过程。可以大大提高学生们的归纳推理能力和实践操作能力。学生们也在整个学习过程中进一步体会到割补法和等体积转化法及归纳推理的数学思想方法，这也为今后他们数学能力的提升奠定了基础。

三．教学目标：1.理解祖暅原理及祖暅原理及在柱体、锥体、球体体积推导中的应用

2.掌握求体积问题中常用的两种方法：割补法和等体积转化法

四.教学重点：祖暅原理及其在柱体、椎体和球体体积中的应用

五.教学难点：

1.锥体、球体体积的推导割

2.补法和等体积转化法

六.教学过程：

（一）祖暅原理

为了求一般柱体、锥体的体积，我们简要介绍一下祖暅（gèng）原理.

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祖暅，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县（今河北省涞水县）人，南北朝时代的伟大科学家.祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等. 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个屏幕的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 如图1，夹在平行平面间的两个几何体（它们的形状可以不同），被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.

这个原理是非常浅显易懂的.例如，取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体（图2），将她改变一下形状，这个几何体形状发生了改变，得到了另一个几何体，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等.利用这个原理和长方体体积公式，我们能够求出柱体、锥体、台体和球体的体积. 祖暅提出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598-1647）提出上述结论.

二、柱体与锥体的体积

下面我们用祖暅原理推导柱体和锥体的体积公式. 设有底面积都等于，高都等于的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使他们的下底面在同一平面内（图3）.根据祖暅原理，可知它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积乘以高，于是我们得到柱体的体积公式

其中是柱体的底面积，是柱体的高. ，高都等于的两个锥体（例如一个棱锥和一个圆锥），使它们的地面在同一设有底面积都等于

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个平面内（图4）.根据祖暅原理，可推导出它们的体积相等.这就是说，等底面积等高的两个锥体的体积相等. 如图5，设三棱柱距离）为，则它的体积为棱锥1、2的底面积相等（有相等的底面积（的底面积（即.沿平面和平面），高也相等（点）和相等的高（点的面积）为，高（即点到平面的，将这个三棱柱分割成3个三棱锥.其中三到平面的距离）；三棱锥2、3也的距离）.因此，这三个三棱锥到平面的体积相等，每个三棱锥的体积是. 三棱锥是（即三棱锥1）如果以为底，那么它的底面积是，高是，而它的体积.这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一. 事实上，对于一个任意的锥体，设它的底面积为，高为，那么它的体积应等于一个底面积为

，高为的三棱锥的体积，即这个锥体的体积为这就是锥体的体积公式. 柱体和锥体是两种基本几何体，它们的体积公式有着广泛的应用. 课堂练习（一）：

（1）某几何体的三视图如图（1），求该几何体的体积.

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（2）如图（2）所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-AAB1C1D1的棱AA1和CC1的中点，则四棱锥C1-DEB1F的体积为 . 三、球体的体积

先来研究半球（半径为）的体积计算.为了应用祖暅原理，我们需要找到一个能够求体积的，使它和半球高度一样，并且用任何一个水平面去截它们时，得到的截面面积都相等的几何体. 如图6（1），设平行于大圆且与大圆的距离为l的平面截半球所得圆面的半径为，截面面积成是在半径为.，于是可以看的圆面上挖去一个半径为l的同心圆，所得圆环的面积. 为此，我们取一个底面半径和高均为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上（图6（2））. 用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面.有上述可知：

圆环大圆半径为，小圆半径为l，面积.所以，.根据祖暅原理，这两个几何体体积相等.即

所以球的体积

根据祖暅原理求几何体的体积，关键是找出一个满足条件的能够求出体积的几何体. 课堂练习（二）：

（1）三棱锥P-ABC三条侧棱两两互相垂直，且PA=1,PB=2,PC=3,求它外接球的体积。

（2）三棱锥P-ABC中侧棱PA长为3且垂直于底面ABC，底面是边长为2的正三角形，求这个三棱锥外接球的体积。

七．课堂小结：

（一）通过对本节内容的学习，你了解到那些东西？

(1)什么是祖暅原理？

(2)祖暅原理用来解决什么样地问题？

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(3)如何借助祖暅原理推导柱体、锥体和球体的体积？(4)在学习过程中，你学到了哪些在解决立体几何体积问题时常用的方法？

（二）本节的收获

知识方面：本节探究了利用祖暅原理获得了柱体、锥体、球体的体积公式。

方法方面：割补法、等体积转化法。

思维能力方面：体会到联想，类比，猜想证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用。

八．课后作业探究：

1.利用祖暅原理探究台体的体积公式，

球、柱、台、锥体体积之间的关系。

2.P35复习参考题 A组. 7、10； B组. 2 选做题: B组.4

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