习题3.3主要内容及教案内容

点与直线的对称问题

西安高新第一中学

杨柳

一、

教学目标

1．

知识与技能

（1）

理解和掌握点与直线对称问题的四种基本类型：点关于点对称、点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称。

（2）

会应用对称性解决光的反射问题和最值问题。

2．

过程与方法

通过对称问题的探究过程，让学生体会几何条件代数化的方法和思想，提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力.

3．

情感态度和价值观

在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，并且继续渗透数形结合的数学思想.

二、

教材与学情分析

学生在前一阶段的学习中对直线方程、两直线位置关系及其距离问题进行了学习，能熟练应用直线方程解决有关问题。轴对称和中心对称是几何学中的基本问题，在实际生活中有丰富的应用。教材关于对称问题是以习题的形式呈现，本节课作为教材内容的补充，以习题课的形式系统的研究和直线有关的对称问题。学生在初中已经学习了轴对称和中心对称两类基本的对称，这节课通过点的坐标及直线方程来研究对称，核心在于几何性质的代数化过程，学生已具备了研究这些问题的知识基础。

三、

教学重难点

重点：点关于点的对称问题，点关于

直线的对称问题。

难点：直线关于点的对称问题，直线关于直线的对称问题。

四、

教学过程

（一）

复习导入

在现实生活中我们经常遇到许多对称的物体，在我们数学中也有许多对称问题，初中学习了哪些类型的对称问题？

轴对称——关于直线对称；

中心对称——关于点对称。

本节课我们就来探究如何利用点的坐标和直线方程研究有关的对称问题。

（二）

新知探究

1.

点关于点的对称

例1.

已知点A(5,8),B(4,1)

求点A关于点B的对称点C的坐标。

分析：如图若A点和C点关于B点对称，则B点是A和C的中点。因此，点与点的对称核心是中点坐标公式的应用。

解：

设点A关于点B的对称点C的坐标为x,y. 5x4x132由中点坐标公式可得：

y68y12C点的坐标为13,6. 点关于点的对称较为简单，由学生自主探究，教师总结讲评。

练习：求点P(x,y)

关于点Q(a,b)

的对称的点M的坐标。

2.

直线关于点的对称

例2.

求直线l1:3xy40

关于点P(2,1)

对称的直线l2

的方程。

分析：直线关于点的对称问题处理方式比较多，让学生自主探究，学生应当能够想到转化为点的对称以及利用两直线平行来解决。这个问题也可以用代入法进行解决，代入法作为求轨迹方程的一种很重要的方法，初次接触，重在让学生理解其思想和方法。

解：

方法一（转化为点的对称）

在直线l1

上任取一点A(0,4)

，A点关于点P(2,1)的对称点为A(4,2)

在直线l1

上任取一点B(1,1)

，A点关于点P(2,1)的对称点为B(3,1)

又点A和B

都在直线l2

上，

可求得l2的方程为3xy100

。

方法二（利用l1l2

）

因为l1、l2两条直线关于点P对称，可知l1l2且点P到l1与l2的距离相等。

设直线l2的方程为3xyC0，则

|61C|3

，解得C4(舍)，或者C=10

1010可得l2的方程为3xy100。

方法三（代入法）

设直线l2上任意一点A的坐标为x,y，

A点关于点P的对称点为A(4x,2y)

又因为点A

在直线l1上，代入l1方程可得：3(4x)(2y)40

化简可得l2

的方程为3xy100。

3.

点关于直线的对称

例3.

求点A(4,4)

关于直线l:3xy20

的对称点A

的坐标。

分析：求点的坐标，需建立关于横纵坐标x和y

的两个方程。两点关于3xy20对称，则A4,4和对称点的中点必在直线3xy20上建立一个方程，A4,4和对称点所在的直线一定和3xy20垂直，利用k1k21建立第二个方程即可. 解：设点A4,4关于直线3xy20的对称点A

的坐标为x,y，

4x4y则A、A的中点H坐标为,. 22H必在直线3xy20上

34x4y20 1

22A,A所在的直线和3xy20垂直

又y431 2

x4联立1,2可解得x2y6

点A4,4关于直线3xy20的对称点的坐标为A2,6. 4.

直线关于直线的对称

例4.

求直线l1:xy20

关于直线l2:3xy10

的对称直线l

的方程。

分析：直线l由两点就可以确定，所以问题可以转化为点的对称，让学生体会转化与化归的数学思想方法。

1xxy202解：由可得

3xy10y5215l1与l2

的交点P坐标为,

22设l1上点A2,0关于l2的对称点B的坐标为x1,y1

x12y1310x1122

y1y111x123l1上点A2,0关于l的对称点B的坐标为1,1

因为，点P和点B都在直线l2上，可求得直线l2方程为：

7xy60

本题也可以用到角公式之间求直线斜率，由学生课后自主探究。

思考：如果两条直线平行时，如何求对称直线呢？

练习：求直线3x4y30关于直线3x4y10的对称直线方程。

由于两直线平行，易得所求直线为3x4y50

（三）

知识应用

对称问题在实际生活和其他学科当中有着广泛的应用，接下来我们来看在反射问题和最值问题中的应用。

例5.

光线通过点A(2,4)

经直线l:2xy70

反射，若反射光线通过点B(5,8)，求入射光线所在直线方程。

分析：学生在初中已经学习过光学的相关知识，这个问题就是将物理问题进行数学化，入射光线由两点确定，一个是已知点A，根据光学知识易得，点B关于直线l

的对称点B

一定在入射光线上，由两点可以求得入射光线所在直线方程。

经过前面的学习，这个问题由学生自主探究完成，教师根据具体情况进行引导和小结。

答案：2x11y480

例6. 已知直线l:x2y80

和两点A(2,0),B(2,4) （1）

在直线上求一点P，使得|PA|+|PB|最小；

（2）

在直线上求一点Q，使得|PB|-|PA|最大。

分析：学生在初中接触过基础的将军饮马问题，在此结合对称性的考查，需要根据具体情况对点进行处理，然后再求最值。

答案：（1）P(2,3) （2）Q(12,10) （四）

课堂小结

本节课主要掌握四类对称问题：点关于点对称、点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称，会根据具体要求求对称点的坐标或对称直线的方程。

另外掌握两类应用问题：反射问题和最值问题。

（五）

作业布置

步步高《章末复习课》

五、

教学反思

本节课是在学习完直线的相关内容之后的一节习题课，主要探究几何当中的两大类对称问题：轴对称和中心对称。这节课研究点和直线这两类最基本的几何对象相关的对称问题，求对称点坐标、求对称直线方程，从初中定性研究上升到了定量的研究。从课堂效果来看，学生对于对称问题的几何背景较为熟悉，但是在几何条件代数化的过程中出现难点，经过引导探究，学生能突破难点，掌握了四类最基本的对称问题。由于本节课内容设置较多，所以在对称问题的应用上，即最后的反射问题和最值问题中，只是让学生探究了解题的思路，并没有进行具体运算过程，后面还得加强练习。总之，本节课，学生参与度较高，课堂气氛活跃，基本完成教学目标。