探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积优秀教学设计

专题：外接球、内切球问题

一．知识点

1．

正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。

如图1，截面图为正方形EFGH的内切圆，得Ra2；

2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，

如图2作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R22a。

3正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，

如图3，以对角面AA1作截面图得，圆O为矩形AA1C1C的外接圆，易得RA1O32a。

图1 图2

图3

4.正四面体的外接球和内切球 如图4所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．

正四面体的表面积S表434a23a2．

图4 小结:正四面体内切球半径是高的134，外接球半径是高的4

5.长方体的外接球：即正方体的各顶点都在球面上。

设长方体的棱长分别为a，b，c。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？

联想正方体的外接球，过长方体的对角面的作截截面图

2R

a b2c2

（4）

结论：由图形（4）我们可以发现外接球的半径Ra2b2c22

二、题型与方法归类

例1、（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．

本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以有球的半径R＝332，则该球的表面积为S＝4πR2＝27π.故填27π

(2)

求棱长为1的正四面体外接球的体积．

R＝64，

∴V4466球＝3πR3＝3π(4)3＝8π.

变式练习: 1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积(

) A．16π

B．20π C．24π D．32π

2已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于(

) A．22

B.2342433 C.3

D.3

3.半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________，体积为________．

例2、已知A、B、C、D是球O面上的四个点，OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1,OB＝2,OC＝3，求球的体积与表面积。

球

的表面积S=4r214

变式训练：

如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=2，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为

PACBA.4

B. 8233

C. 3

D.2

例3..已知一个三棱锥的三视图如图2所示，

其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，

则该三棱锥的外接球体积为

．

球体积为2053.

高考题演练

1.一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A.3π

B．4π

C．

D 6π

2.正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为a，则该正六棱柱的外接球的表面积是（ ）A．

4πa2

B． 5πa2

C．8πa2

D．10πa2 3.长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是（ ）

A．5

B．

7

C．

D．

4.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（

）

5.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（

）

A．

B．

C．

D．

6.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为 ．

7.一个正方体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为3π，则正方体的棱长

．

8.一个正方体的全面积为a2，它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为

9.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是

．

10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

．

答案：

1.解答：

由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．

所以球的表面积为：4πR2==3π．

2.解答：

正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为a，

底面对角线的长度为：2a；

所以该正六棱柱的外接球的半径为：=．

所以该正六棱柱的外接球的表面积是：4πr2==5πa2．

3.解答：从A点出发，沿长方体的表面到C′有3条不同的途径，

分别从与顶点A相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是

，，5，

比较三条路径的长度，得到最短的距离是5

4.D 5.解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为

6.解答：

矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，

所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．

故答案为：8

7.解答：

∵球的表面积为3π，∴球的半径为

∵正方体的顶点都在一个球面上，∴正方体的对角线为球的直径

设正方体的棱长为a，则

∴a=1

8.解答：

设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，[来源:学+科+网]

依题意知

R2=a2，即R2=a2，

∴S2球=4πR=4π•a2=．故答案为：．

9.解答：

长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，

所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．

10.解答：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，

∴圆的半径为：4，

∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，

∴d=8﹣6=2，∴球的半径为：R=∴球的体积为

π×（5）=3，R=5

πcm故答案为3．