3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀教案板书设计

3.1.1

倾斜角与斜率

明目标、知重点

1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．

1．倾斜角的概念和范围

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°. 2．斜率的概念及斜率公式

定义

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan_α

当α＝0°时，k＝0；当0°<α<90°时，k>0；当90°<α<180°时，k<0；当α＝90°时，斜率不存在

y2－y1直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x≠x) x2－x112取值范围

过两点的直线的斜率公式

[情境导学]

在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率．

探究点一

直线的倾斜角及斜率的概念

思考1

我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这些直线区别在哪里呢？

答

区别是它们的倾斜程度不同．

思考2

怎样描述直线的倾斜程度呢？

答

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°. 思考3

依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？

答

0°≤α<180°. 思考4

任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线的位置吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？

答

由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的；因此，只有倾斜角不能确定直线的位置；确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，两者缺一不可．

思考5

日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

答

日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”．

思考6

如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度(比)”，那么“坡度(比)”等于什么呢？

答

坡度(比)等于倾斜角的正切．

小结

我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在，倾斜角是90°的直线没有斜率．

例1

已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°，则直线l的倾斜角为________．

答案

60°或120°

解析

有两种情况：

①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.

②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 反思与感悟

(1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况．

(2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tan α，在0°≤α<90°及90°<α<180°的增减性来判断．

跟踪训练1

已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是(

)

A．0°≤β<180°

C．15°≤β<180°

答案

D B．15°<β<180°

D．15°≤β<195°

解析

因为直线l的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°<180°，即15°≤β<195°. 探究点二

直线的斜率公式

导引

有了斜率的概念，这还不能体现是直线上的点所满足的等量关系，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

(其中x1≠x2)，那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系．那么这种联系是什么呢？

思考1

如下图1、图2，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于Q，那么Q点的坐标是什么？

图1

图2

答

图1中Q点的坐标为(x2，y1)．图2中Q点的坐标为(x2，y1)．

思考2

设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°)，那么Rt△P1P2Q中，哪一个角等于α？

答

如思考1图1，当α为锐角时，α＝∠QP1P2，如思考1图2，当α为钝角时，α＝180°－∠QP1P2. 思考3

根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么？

答

当α为锐角时，如图1，在Rt△P1P2Q中，tan α＝|QP2|y2－y1＝. |P1Q|x2－x1当α为钝角时，如图2，α＝180°－∠QP1P2＝θ(设∠QP1P2＝θ)，tan α＝tan(180°－θ)＝－tan θ. y2－y1y2－y1|QP2|y2－y1在Rt△P1P2Q中，tan θ＝＝＝－，于是可得：tan α＝. |P1Q|x1－x2x2－x1x2－x1y2－y1思考4

当P2P1的方向向上时，tan α＝成立吗？为什么？

x2－x1答

仍然成立．因为当P2P1的方向向上时，可以把P2点看成当P1P2的方向向上时的点P1，y1－y2y2－y1把P1看成当P1P2的方向向上时的点P2，把它们的坐标代入后为：tan α＝＝. x1－x2x2－x1思考5

当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

答

成立．因为当直线P1P2与x轴平行或重合时，α＝0°，tan α＝0，而此时P1，P2两点的纵y1－y10坐标相等，tan α＝＝＝0. x2－x1x2－x1y2－y1小结

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝. x2－x1

例2

如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

1－21解

直线AB的斜率kAB＝＝；

－4－37直线BC的斜率kBC＝－1－11＝－；

20－－4－1－2直线CA的斜率kCA＝＝1. 0－3由kAB>0及kCA>0知，

直线AB与CA的倾斜角均为锐角；

由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角．

反思与感悟

应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．

1．对于下列命题：

①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；

②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．

其中正确命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

C 解析

①②③正确．

2．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于(

) A．1

C．1或3

答案

A 解析

由题意，得kPQ＝4－m＝1，解得m＝1. m＋2B．4 D．1或4 3．若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为_________．

答案

45°或135°

解析

由|k|＝|tan α|＝1，知：k＝tan α＝1或k＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°. 4．求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．

(1)(1,1)，(2,4)；(2)(－3,5)，(0,2)；

(3)(2,3)，(2,5)；(4)(3，－2)，(6，－2)．

4－1解

(1)k＝＝3>0，所以倾斜角是锐角；

2－12－5(2)k＝＝－1<0，所以倾斜角是钝角；

0－－3(3)由x1＝x2＝2得：k不存在，倾斜角是90°；

－2－－2(4)k＝＝0，所以倾斜角为0°. 6－3[呈重点、现规律]

求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法

(1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，其斜率不存在；若不相等，可用公式来求．

(2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存在；若求α的具体值，可用公式k＝tan α求解．