1.2.3 空间几何体的直观图优秀教学设计

1.2.3

空间几何体的直观图

明目标、知重点

1.掌握斜二测画法的作图规则；2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．

1．画平面图形直观图的步骤

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

2．立体图形的直观图的画法

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′.且平行于O′z的线段长度不变．其他同平面图形的画法．

[情境导学]

空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示．空间图形能否在平面中画出来，使得既富有立感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系呢？这就是空间几何体的直观图．本节我们就来研究这个问题．

探究点一

水平放置的平面图形的画法

导引

用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图，要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法．

思考1

把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图．比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？

答

由矩形到平行四边形长没变，宽变小，直角变成了锐角或钝角．

思考2

把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？

答

发生变化的是高变为原来的一半，直角变成了45°角，相应的腰也发生了变化．

思考3

阅读教材16页中的例1，然后自主作出水平放置的正六边形的直观图．

答

画法：(1)如图1，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图2中，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. 1(2)在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN.以点2N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点，画E′F′平行于x′轴，并且等于EF. (3)连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′(图3)．

小结

上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，斜二测画法的基本步骤和规则：

(1)建坐标系，定水平面；

(2)与坐标轴平行的线段保持平行；

(3)水平线段等长，竖直线段减半．

思考4

斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？画出水平放置的圆的直观图．

答

看起来像椭圆．画法如下图：

例1

用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．

解

(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．

(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 1在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，2A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

反思与感悟

此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图．要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便．

跟踪训练1

将例1中三角形放置成如图所示，则直观图与例1中的还一样吗？

解

(1)如图①所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．

(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 1在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝OC＝1 cm，连接A′B′，2A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

显然与例1中的既不全等也不相似．

探究点二

空间几何体的直观图的画法

例2

用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图．

解

(1)画轴．如下图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使3PQ＝

cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点2分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′. (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．

反思与感悟

直观图中应遵循的基本原则：

(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；

1(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的. 2跟踪训练2

如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图．

解

由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体．它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合．我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥．

画法：①画轴；②画圆柱的下底面；③画圆柱的上底面；④画圆锥的顶点；⑤成图．

例

3

如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积．

解

根据斜二测画法，等腰梯形的高为22，所以AB＝1＋2×＝1＋2，在平面图形中，221AB的长度不变，CD的长为1，AD的长为2，所以这个平面图形的面积为(1＋1＋2)×2＝22＋2. 反思与感悟

解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍．

跟踪训练3

已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC

的面积为(

) A.C.32a

262a

2B.32a

4D.6a2

答案

C 解析

画△ABC直观图如图(1)所示：

则A′D′＝∴A′O′＝3a，又∠x′O′y′＝45°，

26a. 2画△ABC的实际图形，

如图(2)所示，AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，

16∴S△ABC＝BC·AO＝a2. 22

1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为(

) A．16

C．16或64

答案

C 解析

等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的(

) B．64 D．无法确定

答案

C 解析

正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1. 3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(

) A．2 cm

B．3 cm

C．2.5 cm

答案

D D．5 cm 解析

圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D. 4．如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．

解

(1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，

即CA＝C′A′；

(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；

(3)连接AB，BC，得△ABC. 则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，

如图所示．

[呈重点、现规律]

1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．

2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．

一、基础过关

1．下列结论：

①角的水平放置的直观图一定是角；

②相等的角在直观图中仍然相等；

③相等的线段在直观图中仍然相等；

④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．

其中正确的有(

) A．①②

B．①④

C．③④

D．①③④

答案

B 解析

由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°，故②错；当线段与y轴平行时，在直观图中长度减半，所以③错，因此答案为B. 2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于(

) A．45°

C．90°

答案

D 解析

因∠A的两边分别平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°，故选D. 3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是(

) B．135°

D．45°或135°

答案

C 解析

可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．

4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的(

)

答案

C 解析

由于直观图中的四边形有一边与y′轴平行，所以平面图中必有一边与另一边垂直，

选项C符合．

5．利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形．

以上结论中，正确的是______________．(填序号) 答案

①②

解析

斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．

6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为_________________．

答案

2.5 解析

由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5. 7.如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.求梯形OABC的面积．

解

设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h. 过C′作C′D′⊥O′A′于D′，

则C′D′＝2h. 21由题意知C′D′(C′B′＋O′A′)＝S. 2即2h(C′B′＋O′A′)＝S. 41又原直角梯形面积为S′＝·2h(C′B′＋O′A′) 2

＝h(C′B′＋O′A′)＝4S＝22S. 2所以梯形OABC的面积为22S. 二、能力提升

8．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是(

)

A．8 cm B．6 cm C．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm 答案

A 解析

根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝22，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm.

9.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(

)

A．正方形

C．菱形

答案

C 解析

如图，在原图形OABC中，

应有OD＝2O′D′＝2×22 ＝42 cm，

CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝OD2＋CD2

＝422＋22＝6 cm，

∴OA＝OC，

B．矩形

D．一般的平行四边形

故四边形OABC是菱形．

10．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．

答案

2

22122·OA＝OA＝. 2242解析

画出直观图，则B′到x′轴的距离为

11.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．

解

画法：

(1)如图a所示，在梯形ABCD中，

以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，

建立平面直角坐标系xOy.如图b所示，

画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°. (2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在图b中，

在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，

3A′E′＝AE＝3≈2.598 cm；

2过点E′作E′D′∥y′轴，

113使E′D′＝ED＝×＝0.75 cm，

222再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm. (3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．

12.如图所示的是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出该几何体的直观图．

解

(1)画轴：如图(1)所示，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面：利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上取点O′，使OO′等于三视图中相应的高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′. (3)画正四棱锥顶点：在Oz上取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．

(4)成图：连接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图(2)所示．

三、探究与拓展

13.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．

解

四边形ABCD的真实图形如图所示，

∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，

∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，

∴在原四边形ABCD中，

DA⊥AC，AC⊥BC，

∵DA＝2D′A′＝2，

AC＝A′C′＝2，

∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22.