1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学设计内容推荐

三招教会你求几何体外接球表面积和体积

一、教学目标

求几何体外接球的体积

二、教学难点及重点

确定球截面圆的圆心及球心

三、过程方法及指导思想

多面体的外接球问题是困扰学生的难点．解决此类问题的关键是确定外接球的球心在哪？半径是多少？解决了这两个问题，外接球的问题就迎刃而解了。针对定球心问题的应对策略是①

球心到各顶点的距离相等

②过截面圆圆心且垂直圆面的直线过球心。针对求解半径的应对策略是把握垂直，构造直角三角形求边长。

四、常见结论

⑴

正方体的体对角线为外接球的直径 ⑵长方体的体对角线为外接球的直径

⑶

正四面体的外接球和内切球的球心都在椎体的高上，且内切球和外接球的半径比为为1:3，内切球和外接球的球心相同，球心为高的四等分点靠近面的那个点。

⑷

有公共斜边的两个直角三角形形成的几何体的外接球的球心为斜边的中点，斜边为球的直径

五、教学过程

1、构造直棱柱（什么时候用构造）

长方体的体对角线为外接球的直径，由此推广直棱柱的外接球的球心在直棱柱的中截面上，利用球心到底面的距离、截面圆的半径、球的半径构造直角三角形求解。

例1、三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,且PA=2，△ABC是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为

解：

解题感悟

跟踪训练1：三棱锥P-ABC中，AB=BC=15,AC=6，PC⊥平面ABC,PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为

解：

解题感悟

跟踪训练2：一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为

解：

解题感悟

跟踪训练3：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为

解：

解题感悟

2、利用直角三角形的性质

在直角三角形中，斜边上的中点到三个顶点的距离相等，若一个三棱锥有两个面是直角三角形且它们的斜边重合，则该斜边的中点就是外接球的球心，斜边的一半即为外接球的半径。

例2：若三棱锥P-ABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是

解：

解题感悟

跟踪训练：在三棱锥A-BCD中，底面BCD为边长是2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为22，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为

解：

解题感悟

3、利用线面垂直的性质

我们知道在三角形中，到三个顶点距离相等的点是三角形的外心，那么在空间中到三角形三个顶点距离相等的点的集合就是过外心所作的三角形所在平面的垂线。因此一个多面体外接球的球心一定在过某个三角形的外心所作的垂线上。

例3：已知正四棱锥的顶点都在同一个球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的体积为

解：

解题感悟

跟踪训练：已知菱形ABCD的边长为3，且角∠BAD=600,将△ABD沿BD折起，使A、C两点间的距离为3，则所得三棱锥的外接球的表面积为

解：

解题感悟

课后练习

1、正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为2，此时四面体ABCD外接球的表面积为

解：

解题感悟

2、在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=600,AB=AC=23,PA=2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为

解：

解题感悟