3.4 生活中的优化问题举例教案教学设计导入设计

高中数学 3.4生活中的优化问题举例学案

新人教A版选修1-1 ►基础梳理

1. 优化问题．

生活中经常遇到的利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

2．利用导数解决优化问题的基本思路．

3．利用导数解决优化问题的一般步骤．

(1)审题：认真阅读，分析实际问题中各个量之间的关系．

(2)建模：实质就是数学化的过程，即把实际问题用数学符号、式子、图形等表示出来，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．

(3)求解：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，并比较区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，得出函数的最值．

(4)检验：对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出判断，确定问题的答案．

►自测自评

13392电动自行车的耗电量y与速度x有如下关系：y＝x－x－40x(x>0)，为使耗电量最32小，则速度应定为40．

1. 为了保证容积一定的圆柱形金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与其底面半径之比是(D)

A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1

D．2∶1 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则V＝πrh(V是定值)，即h＝2

V2，因此，所πrV2V2使用材料总面积为S＝2πr＋2πrh＝2πr＋，则S′＝22πr－2，由S′＝0，得2rrπr＝V，可以证明此时的r能使S最小．进而得到h＝2r. 点评：本题是含字母的运算，对计算能力要求较高，注意运用整体思想和设而不求．

2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加1003

元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，(0≤x≤390)当x＞900390时，R(x)＝90 090，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(D) A．150 B．200 C．250 D．300 解析：∵总利润P(x)＝

x3x－＋300x－20 000，0≤x≤390，

90090 090－100x－20 000，x＞390，由P′(x)＝0，得x＝300，故选D. 3．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地．如果铁丝网长40 m，那么围成的场地面积最大为________．

40－x2解析：设靠墙的一面长x m，围成的场地面积为y m，此时矩形的宽为＞0. 240－x12∴y＝x·＝－x＋20x.(0＜x＜40) 22y′＝－x＋20，令y′＝0得x＝20，

当0＜x＜20时，y′＞0. 当20＜x＜40时，y′＜0. ∴x＝20时，y最大＝20×10＝200. 2答案：200 m

4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩2形，上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积为8 m.问x、y分别为多少时用料最省(精确到0.001 m)? 3

12解析：由题意，得xy＋x＝8，

4128－x48x∴y＝＝－(0＜x＜42)．

xx4于是，框架用料总长度为

2316l＝2x＋2y＋2·x＝＋2x＋. x22316求导得，l′＝＋2－2，由l′＝0. 2x得x＝8－42. 可以证明，当x＝8－42时，用料最省．此时，x＝8－42≈2.344，y＝22≈2.828. 故当x为2.344 m，y为2.828 m时，用料最省．

点评：本题也可以用基本不等式求解，但计算量较大．

1．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，焊成一个正四棱形柱容器，则当所做的容器的体积最大时，被截去的小正方形的边长是(B) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 2解析：设小正方形的边长为x(0＜x＜24)，则容器的容积为V＝x(48－2x). 根据导数，不难得出，当x＝8时，V最大．故选B. 22．曲线C：y＝4－x(x＞0)上的点与点P(0，2)的最短距离是(C) 35A. B.

2273 D.

222解析：设Q(x，4－x)(x＞0)是曲线C上任意一点，则PQ的距离为

22242|PQ|＝（x－0）＋（4－x－2）＝x－3x＋4，

3742令f(x)＝x－3x＋4(x＞0)，根据导数可求得，当x＝时，f(x)min＝，从而|PQ|min24C.7. 23．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的*2总利润y(万元)与营运年数x(x∈N)满足y＝－x＋12x－25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大(C) A．3 B．4 C．5 D．6 2解析：∵总利润y(万元)与营运年数x之间的关系为y＝－x＋12x－25，

y2525∵平均利润＝－x－＋12＝－x＋＋12，

＝xxxy′＝25－1，令25－1＝0，解得x＝5. xx2x2故选C. 4．要做一个母线长为20 cm的圆锥形漏斗，使其体积最大，则它的高等于(D) 3103A. cm B. cm 33C.163203 cm D. cm 331222解析：设圆锥的高为h(0＜h＜20)，则底面半径为20－h，它的体积为V＝πh(2032－h)，于是

11203V′＝π(202－3h2)，令V′＝π(202－3h2)＝0，得h＝. 333203可以证明，当圆锥的高为 cm时，其体积最大．

35．如右图，在半径为r的圆O的一侧作一内接梯形ABCD，使其下底为圆的直径，其他三边为圆的弦．当梯形的面积

最大时，梯形的上底长为(D)

1A.r

2B.C.3r

2

3r

3D．r

π解析：如题图，设∠AOD＝x0＜x＜，

2则∠BOC＝x，∠COD＝π－2x，于是梯形的面积为

11S＝2·r2sin x＋r2sin(π－2x)＝r2(sin x＋sin xcos x)，那么，S′＝r2(cos x＋cos 22222x)＝r(2cos

x＋cos x－1)．

1π令S′＝0，解得，cos x＝或cos x＝－1(不合题意，舍去)，即x＝. 23π易知，当x＝时，梯形面积最大．相应地，△OCD为正三角形，所以梯形的上底长是3r. 26．某工厂生产某种商品x单位的利润是C(x)＝500＋x－0.001x，则生产该商品________单位时，所获得的最大利润是________．

解析：由于C(x)是二次函数，所以可以求导或者配方或者直接用公式即可得到，生产该商品500单位时，所获得的最大利润是750. 答案：500 750 7．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时，用料最省．

16解析：设水箱高为x分米．则底面正方形的边长是分米，那么总用料面积是

x416162S＝＋4·x·＝64x＋，求导后，得到，当

x＝4分米时，用料最省．

xxx答案：4 8．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成

一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．

解析：设一段细铁丝为x

cm(0＜x＜12)，则另一段为(12－x)cm，那么这两根细铁丝各3x2312－x232自围成的两个正三角形面积的和是S＝f(x)＝＋＝(2x－24x＋144)＝434336322[(x－6)＋36]．于是，当x＝6 cm时，这两个正三角形面积之和的最小值是23 cm. 18答案：23 cm

9．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位该产品，成本增加100元，已知每月总收益R与月产量x的关系是R(x)＝

1400x－x2，0≤x≤400，2若要使公司每月的总利润最大，该产品的月产量是多少？

280 000，x＞400，

解析：依题意，可以求得，总利润为

12400x－2x－（100x＋20 000），0≤x≤400，L(x)＝

80 000－（100x＋20 000），x＞400，1－x2＋300x－20 000，0≤x≤400，即L(x)＝2

－100x＋60 000，x＞400.(1)若0≤x≤400，可求得当x＝300时，

L(x)max＝25 000；

(2)若x＞400，显然L(x)＜20 000. 因此，该产品的月产量为300单位时，总利润最大．

1210．某地区预计从2011年初开始的第x月，商品A的价格f(x)＝(x－12x＋69)(x∈N，2x≤12，价格单位：元)，且第x月该商品的销售量g(x)＝x＋12(单位：万件)．

(1)2011年的最低价格是多少？

(2)2011年的哪一个月的销售收入最少？

12解析：(1)f(x)＝[(x－6)＋33]，∴当x＝6时，f(x)取得最小值，即第6个月的价格2最低，最低价格为16.5元．

1213(2)设第x月的销售收入为y(万元)，依题意有y＝(x－12x＋69)(x＋12)＝(x－75x22＋828)，

13y′＝(3x2－75)＝(x＋5)(x－5)，所以当1≤x≤5时y′≤0，y递减；

22当5≤x≤12时y′≥0，y递增，所以当x＝5时，y最小，即第5个月销售收入最少．

答案：2011年在第5月的销售收入最低．

1211．已知某工厂生产x件产品的成本为c＝25 000＋200x＋x(元)．

40(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？

(2)若产品每件以500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

解析：(1)设平均成本为y元，则

1225 000＋200x＋x4025 0001y＝＝＋200＋x(x>0)，

xx4025 0001y′＝－＋(x>0)，

x240令y'＝0，得x1＝1 000，x2＝－1 000(舍去)．

因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．

1212(2)利润函数L＝500x－25 000＋200x＋x＝300x－25 000－x. 40401L′＝300－x. 20当x∈(0，6 000)时，L′(x)＞0；当x∈(6 000，＋∞)时，L′(x)＜0.∴x＝6 000时，L′(x)取得极大值，即函数在该点取得最大值．

令L′＝0，得x＝6 000. 因此要使利润最大，应生产6 000件产品．

12. 如右图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，设CD＝2x，梯形面积为S.

(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；

(2)求面积S的最大值．

分析：先建立直角坐标系，设出椭圆的方程，表示出梯形面积的函数关系，利用导数的有关知识解决问题．

解析：(1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy(如右图)，则点C的横x2y2坐标为x，点C的纵坐标y满足方程2＋2＝1(y≥0)，

r4r

解得y＝2r－x(0

1S＝(2x＋2r)·2r2－x2＝2(x＋r)·r2－x2，其定义域为{x|0

2222(2)记f(x)＝4(x＋r)(r－x)，0

2则f′(x)＝8(x＋r)(r－2x)．

令f′(x)＝0，得x＝. 2因为当00；当

222因此，当x＝时，S也取得最大值，最大值为222rrrrrr33r2. f＝22332即梯形面积S的最大值为r. 2点评：本题主要考查解析几何知识、函数知识以及导数在实际问题中的应用．解题思路是将已知的几何关系数量化，再借助导数研究其性质．本题巧妙地将实际问题与解析几何、函数、导数结合起来，非常具有新意．

►体验高考

1．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

购地总费用(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 建筑总面积解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，

2 160×10 00010 800(x≥10，x∈N*)，

则f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋2000xx10 800f′(x)＝48－，令

f′(x)＝0，得x＝15. 2x当x>15时，f′(x)>0 ；

当10

2．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式．

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

解析：(1)设需要新建n个桥墩，

mx所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x

mm＝256－1＋(2＋x)x

xx256m＝＋mx＋2m－256. x256m11(2)由(1)知，f′(x) ＝

－2

＋

mx－ x22(n＋1)x＝m，即n＝－1，

m＝

2(x2－512)．

2x3令f′(x)＝0，得x2＝512，所以x＝64. 当0

当640. f(x)在区间(64，640)内为增函数，

所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时，

m640n＝－1＝－1＝9. x64故需新建9个桥墩才能使y最小．

23．围建一个面积为360 m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．

3(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

解析：(1)如下图所示，设矩形的另一边长为a m，

y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360，

360由已知xa＝360，得a＝，

x360所以y＝225x＋－360(x>0)．

2x360(2)y′＝－2＋225，令y′＝0得x＝24(x＝－24舍去)．

2x即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．

4．某企业拟建造如下图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆80π柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r，假设该容3器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元．

(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2)求该容器的建造费用最小时的r. 解析：(1)设容器的容积为V，

480π23由题意知V＝πrl＋πr，又V＝，

334V－πr33804420故l＝＝22－r＝2－r. πr3r33r

4202由于

l≥2r，因此 0

y＝2πrl×3＋4πrc＝2πr×2－r×33r160π22＋4πrc，因此

y＝4π(c－2)r＋，03，所以c－2>0. 32020当r－＝0时，r＝

. c－2c－2320＝m，则m>0，

c－28π（c－2）22所以

y′＝(r－m)(r＋rm＋m)．

2令

3r9①当0时，

2当r＝m时，y′＝0；

当r∈(0，m)时，y′<0；

当r∈(m，2)时，y′>0. 所以

r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．

9②当m≥2即3

2当r∈(0，2)时，y′<0，函数单调递减．

所以

r＝2是函数y的最小值点．

9综上所述，当3

23209当c>，建造费用最小时r＝

. 2c－25．(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总本本为160222πr元，所以蓄水池的总成本(200πrh＋160πr)元，又据题意200πrh＋160πr＝12 0001π223π，所以h＝(300－4r)，从而V(r)＝πrh＝(300r－4r)．

5r5因为r＞0，又由h＞0可得r＜53，故函数V(r)的定义域为(0，53)．

ππ32(2)因为V(r)＝(300r－4r)，故V′(r)＝(300－12r)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，55r2＝－5(r2＝－5不在定义域内，舍去)．

当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，53)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，53)上为减函数．

由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．