4.3.2 空间两点间的距离公式第一课时导学案

4.3.2 空间两点间的距离公式

一、教学目标

1.掌握空间两点间的距离公式. 2.会应用距离公式解决有关问题. 3.通过对空间两点间距离公式的探究与推导,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法. 二、教学重难点

1.掌握空间两点间的距离公式. 2.会应用距离公式解决有关问题. 三、教学设计

一、引入

1. 在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？

|P1P2|(x1-x2)2(y1-y2)2那么，如何求空间中两点间的距离呢？

2、长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？

da2b2c2

3、在空间直角坐标系中,点P(x，y，z)到xOy平面的距离，怎么求？

4、在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到坐标轴的距离，怎么求？

zdy0Pz0x0dxy22y0z022x0z022x0y0Oxdydz

5、空间点到原点的距离

二、探究：在空间中，到定点的距离等于定长的点的轨迹是.以原点为球心，半径长为 r 的球面

问：如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2（x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？

如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）

是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影分别为M,N,那么M,N的坐标为M（x1，y1，0）， N（x2，y2，0）.在xOy平面上,22MN=(x2-x1)+(y2-y1).过点P1作P2N的垂线，垂足为H,则

HP2=z2-z1.MP1=z1,NP2=z2,22PH=MN=(x-x)+(y-y),在RtΔP1HP中，121212根据勾股定理

P1P2=P1H+HP222222=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1),因此，空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）之间的距离

222P1P2=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1).

三、例题讲解

例1 求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 证明：2M1M22=(74)2(13)2(21)214,

M2M3=(57)2(21)2(32)26,

M3M1=2(45)2(32)2(13)26,

所以M2M3=M3M1,所以原结论成立

【变式练习】

1.

求下列两点的距离

（1）A(2,3,5) , B(3,1,4) （2）A(6,0,1) , B(3,5,7)

答案：（1）6

270

例2.

在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距离的点

解：设所求的点为M(0, 0, z)，

依题意有MAMB22

222222(04)(01)(z7)(30)(50)(2z)即

解之得z1414所以所求点的坐标是0，0，

99【变式练习】

在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1，-3,1）的距离相等

答案：（0，0，-3）

四、课堂训练

1．到定点(1，0，0)的距离小于或等于1的点的集合是（ ）

A. {(x，y，z)|(x-1)2+y2+z2≤1}

B. {(x，y，z)|(x-1)2+y2+z2=1} C. {(x，y，z)|x2+y2+z2≤2}

D. {(x，y，z)|x2+y2+z2≤1}

2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点的坐标为

A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x=_____. 3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)两点的距离相等，则x、y、z满足的关系式

是________________

五、课堂小结

1、两点间距离公式

2、空间中点坐标公式

六、作业布置