3.3.4 两条平行直线间的距离教学设计实例

1．两条直线的位置关系

(1)两条直线平行与垂直

①两条直线平行：

(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直：

(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2. (2)两条直线的交点

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，的解．

A2x＋B2y＋C2＝0

2．几种距离

(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12. |Ax0＋By0＋C|(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. A2＋B2(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝【知识拓展】

1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0. 2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ∈R)，但不包括l2. |C1－C2|. A2＋B2

3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(

×

) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(

×

) (3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(

√

) |kx0＋b|(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(

×

) 1＋k2(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(

√

) 1(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中k点在直线l上．(

√

)

1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的

(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

答案

A 解析

(1)充分性：当a＝1时，

直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行；

(2)必要性：当直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行时有a＝－2或1. 所以“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A. 2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(

) A.2

C.2－1

答案

C |a－2＋3|解析

依题意得＝1. 1＋1解得a＝－1＋2或a＝－1－2.∵a>0，∴a＝－1＋2. 3．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为(

) B．2－2 D.2＋1 B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

A．－7

C．－1或－7

答案

A B．－1 13D.

33＋m5－3m解析

l1的斜率为－，在y轴上的截距为，

4428l2的斜率为－，在y轴上的截距为. 5＋m5＋m3＋m2又∵l1∥l2，由－＝－得，m2＋8m＋7＝0，

45＋m得m＝－1或－7. 5－3m8m＝－1时，＝＝2，l1与l2重合，故不符合题意；

45＋m5－3m138m＝－7时，＝≠＝－4，符合题意．

425＋m4．(2014·福建)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(

) A．x＋y－2＝0

C．x＋y－3＝0

答案

D 解析

圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，

又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，

所以直线l的斜率k＝1. 由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0. 5．(教材改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________. 答案

0或1 解析

由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1. B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝0

题型一

两条直线的平行与垂直

例1

(1)已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(

) A．－1

C．0或－2

B．2 D．－1或2 (2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.

答案

(1)D

(2)－2 解析

(1)若a＝0，两直线方程为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a－121a≠0.当a≠0时，若两直线平行，则有＝≠，解得a＝－1或a＝2，选D. 1a3(2)方法一

∵l1⊥l2，

∴k1k2＝－1，

a即＝－1，

2解得a＝－2. 方法二

∵l1⊥l2，

∴a＋2＝0，a＝－2. 思维升华

(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．

(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．

已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：

(1)l1∥l2；

(2)l1⊥l2. 解

(1)方法一

当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2. 1当sin α≠0时，k1＝－，k＝－2sin α. sin α212要使l1∥l2，需－＝－2sin α，即sin α＝±. sin α2π所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．

4π故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2. 4方法二

由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，

2π所以sin α＝±.所以α＝kπ±，k∈Z. 24又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. π故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2. 4(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，

所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2. 题型二

两条直线的交点与距离问题

1例2

(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值2

范围是________．

(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________________________________________________________________________．

11－，

(2)x＋3y－5＝0或x＝－1 答案

(1)62y＝kx＋2k＋1，解析

(1)方法一

由方程组

1y＝－x＋2，22－4kx＝2k＋1，解得6k＋1y＝2k＋1.

1(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行) 2∴交点坐标为2－4k，6k＋1. 2k＋12k＋1又∵交点位于第一象限，

2－4k2k＋1＞0，∴6k＋12k＋1＞0，

11解得－＜k＜. 62方法二

如图，已知直线

1y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)．

2而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线．

∵两直线的交点在第一象限，

∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，

∴动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB. 11∵kPA＝－，kPB＝. 6211∴－＜k＜. 62

(2)方法一

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为

y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. |2k－3＋k＋2||－4k－5＋k＋2|由题意知＝，

k2＋1k2＋1即|3k－1|＝|－3k－3|，

1∴k＝－. 31∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，

3即x＋3y－5＝0. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．

1方法二

当AB∥l时，有k＝kAB＝－，

31直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，

3即x＋3y－5＝0. 当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)．

∴直线l的方程为x＝－1. 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1. 思维升华

(1)求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．

(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．

(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．

解

与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0. 设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，

即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，

∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 1解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0. 3

(2)正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．

解

点C到直线x＋3y－5＝0的距离

|－1－5|310d＝＝. 51＋9设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，

则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离

|－1＋m|310d＝＝，

51＋9解得m＝－5(舍去)或m＝7，

所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，

则点C到直线3x－y＋n＝0的距离

|－3＋n|310d＝＝，

51＋9解得n＝－3或n＝9，

所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0. 题型三

对称问题

命题点1

点关于点中心对称

例3

过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．

答案

x＋4y－4＝0 解析

设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 命题点2

点关于直线对称

例4

已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为____________．

334－，

答案

1313解析

设A′(x，y)，由已知得

y＋22x＋1×3＝－1，x－1y－22×2－3×2＋1＝0，

解得4y＝13，33x＝－，13

334－，. 故A′1313命题点3

直线关于直线的对称问题

例5

已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

解

在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．

设对称点M′(a，b)，则

a＋2b＋02×－3×22＋1＝0，b－02a－2×3＝－1，

a＝13，解得30b＝13，6

630∴M′13，13. 设直线m与直线l的交点为N，则

2x－3y＋1＝0，由

3x－2y－6＝0，

得N(4,3)．

又∵m′经过点N(4,3)．

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. 思维升华

解决对称问题的方法

(1)中心对称

x′＝2a－x，①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足

y′＝2b－y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．

(2)轴对称

①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有

n－bAm－a×－B＝－1，a＋mb＋nA·2＋B·2＋C＝0.

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(

)

A．2

8C.

3答案

D 解析

建立如图所示的坐标系：

B．1 4D.

3

可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC的方程为x＋y＝4，

△ABC的重心为

0＋0＋4，0＋4＋0，设P(a,0)，其中0

33则点P关于直线BC的对称点P1(x，y)，

a＋xy＋02＋2＝4，满足y－0－1＝－1，x－a·

x＝4，解得即P1(4,4－a)，易得P关于y轴的对称点P2(－a,0)，

y＝4－a，

由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，

4－a－04－a直线QR的斜率为k＝＝，

4－－a4＋a

4－a故直线QR的方程为y＝(x＋a)，

4＋a44由于直线QR过△ABC的重心(，)，代入化简可得3a2－4a＝0，

33444，0，故AP＝. 解得a＝，或a＝0(舍去)，故P333

18．妙用直线系求直线方程

一、平行直线系

由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．

典例1

求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．

思维点拨

因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0 (c≠1)．

规范解答

解

依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0 (c≠1)，

又因为直线过点(1,2)，

所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11. 因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0. 温馨提醒

与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0 (C1≠C)，再由其他条件求C1. 二、垂直直线系

由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．

典例2

求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．

思维点拨

依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．

规范解答

解

因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0. 温馨提醒

与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1. 三、过直线交点的直线系

典例3

求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．

思维点拨

可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．

规范解答

x－2y＋4＝0，解

方法一

解方程组得P(0,2)．

x＋y－2＝0，

3因为l3的斜率为，且l⊥l3，

44所以直线l的斜率为－，

34由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，

3即4x＋3y－6＝0. 方法二

设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，

即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，

解得λ＝11. ∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 温馨提醒

本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解．

思想方法

感悟提高

[方法与技巧]

1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．

2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．

[失误与防范]

1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．

2．在运用两平行直线间的距离公式d＝相同的形式．

|C1－C2|A2＋B2时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为

A组

专项基础训练

(时间：35分钟) 1．已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有

(

) A．b＝a3

1B．b＝a3＋

a1b－a3－＝0 C．(b－a3)a1b－a3－＝0 D．|b－a3|＋a答案

C 解析

若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若3ππ32a－b∠A＝，则b＝a≠0.若∠B＝，根据垂直关系可知a·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即22a1b－a3－＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．

a2．已知过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行，则m的值为(

) A．－1

B．－2

C．2

D．1 答案

B 解析

由题意得：kAB＝m－0m＝，

－5－m＋1－6－m5－31kCD＝＝.由于AB∥CD，即kAB＝kCD，

0－－42m1所以＝，所以m＝－2. －6－m213．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在

(

) 2A．第一象限

C．第三象限

答案

B kx－y＝k－1，k，2k－1，因为0＜k＜1，所以解析

解方程组得两直线的交点坐标为2k－1k－1ky－x＝2kB．第二象限

D．第四象限

2k－1k＜0，＞0，故交点在第二象限．

k－1k－1

4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点

(

) A．(0,4)

C．(－2,4)

答案

B 解析

直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．

5．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(

) A．x＋2y－4＝0

C．x＋6y－16＝0

答案

A 1解析

由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－321＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光2线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．

y－3＝3，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}且M∩N＝∅，则a＝________. 6．已知M＝x，y|x－2B．(0,2) D．(4，－2) B．2x＋y－1＝0 D．6x＋y－8＝0 答案

－2或－6 解析

由题可知，集合M表示过点(2,3)且斜率为3的直线，但除去(2,3)点，而集合N表示一a条直线，该直线的斜率为－，且过(－1,0)点，若M∩N＝∅，则有两种情况：①集合M表示2a的直线与集合N所表示的直线平行，即－＝3，解得a＝－6；②集合N表示的直线过(2,3)2点，即2a＋2×3＋a＝0，解得a＝－2，综上，a＝－2或－6. 7．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________. 8答案

0或

3a＋ba－1＝0，4|b|解析

由题意得

＝.a－12＋1a2＋－b2

a＝，a＝2，解得或3b＝－2

2b＝2

经检验，两种情况均符合题意，

8∴a＋b的值为0或. 3

π8．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；4若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．

答案

－1

1

22 π解析

若直线l1的倾斜角为，则－a＝k＝tan 45°＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－4|1－－3|1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝＝1＋122. 9．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．

解

依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，

∴lAC为2x＋y－11＝0，

2x＋y－11＝0，联立lAC、lCM得∴C(4,3)．

2x－y－5＝0，

x0＋5y0＋1设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，

22代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，

2x0－y0－1＝0，∴∴B(－1，－3)，

x0－2y0－5＝0，

66∴kBC＝，∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，

55即6x－5y－9＝0. 10．已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．

(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

解

(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

∵点A(5,0)到l的距离为3，

∴＝3，

2＋λ2＋1－2λ2|10＋5λ－5|1即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝，

2∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. 2x＋y－5＝0，(2)由

x－2y＝0，

解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)．

∴dmax＝PA＝5－22＋0－12＝10. B组

专项能力提升

(时间：30分钟) 11．若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是

(

) A．2

C．4

答案

C 解析

因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，

所以4m＋3n－10＝0. 欲求m2＋n2的最小值可先求m－02＋n－02的最小值，

而m－02＋n－02

表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2＋n2的最小值为4. B．22 D．23

12.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．

答案

6 解析

以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，－2)，C(b,3)．

∵AC⊥AB，

6∴ab－6＝0，ab＝6，b＝. a1Rt△ABC的面积S＝a2＋4·b2＋9 2＝≥12361a＋4·2＋9＝

2a2172＋72＝6. 214472＋9a2＋2

a13．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．

答案

(2,4) 解析

如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和为PA＋PB＋PC＋PD＝PB＋PD＋PA＋PC≥BD＋AC＝QA＋QB＋QC＋QD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)，

∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－1)．

y－2＝2x－1，由得Q(2,4)．

y－5＝－x－1，

114．已知直线l：y＝x－1，

2(1)求点P(3,4)关于l对称的点Q；

(2)求l关于点(2,3)对称的直线方程．

解

(1)设Q(x0，y0)，由于PQ⊥l，且PQ中点在l上，有y＋41x＋32＝2·2－1，00y0－4＝－2，x0－3

解得

8y＝－，5029x0＝，5

298，－. ∴Q55(2)在l上任取一点，如M(0，－1)，则M关于点(2,3)对称的点为N(4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，

∴所求直线过点N且与l平行，

1∴所求方程为y－7＝(x－4)，

2即为x－2y＋10＝0. 15．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与75l2间的距离是. 10(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：

①点P在第一象限；

1②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；

2③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5. 若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．

1解

(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝22＝10，

22＋－1a－－1275所以a＋12755＝17a＋＝，

，即2210又a＞0，解得a＝3. (2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．

若P点满足条件②，则P点在与l1，

l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，

且c＋1|c－3|125＝25，

1311即c＝或，

261311所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；

26

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，

有|2x0－y0＋3|2|x0＋y0－1|＝，

552即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，

所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；

由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．

13联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，

2x＝－3，0解得(舍去) 1y＝；0211联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，

6

解得37y＝18.01x0＝，9

137所以存在点P9，18同时满足三个条件．