3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计实例

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3.1.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计

河北省张家口市万全区万全中学

张海琴

一、教学内容与地位作用解析

1、内容分析

本节课的主要内容有两个概念（直线的倾斜角和斜率）及一个公式（斜率计算公式）

直线的倾斜角是反映直线倾斜程度的量，它也是确定直线位置的一个重要的几何要素，它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程度。

直线的斜率指倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念的。直线的斜率可看作是比值，实质上是数值，所以直线的斜率从本质上可看成是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。显然，与倾斜角相比，用斜率刻画倾斜程度会更细致。

关于过已知两点的直线斜率公式：因为过两点的直线是唯一确定的，所以其倾斜程度也就确定（即直线的斜率也是确定的）。从而在直角坐标系中，直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不可分的联系。斜率k0y2y1不仅反映了这种联系，并用代数方法表示了出来，而且在公式的推导中蕴含了分类讨论、x2x1数形结合、化归等重要数学思想。

2、地位作用分析

本节课是高中解析几何部分的起始课，学生具备的知识基础是在直角坐标系中会用坐标表示点，明确了坐标平面上的点与有序数对可建立一一对应的关系。这节课的教学内容，不仅能反映出数学概念离不开生活，数学是自然有用的，而且蕴含了几何问题代数化的思想，从知识点及研究方法上，为后继判断两条直线的位置关系以及建立直线的方程等内容起着关键性的铺垫作用。

二、教学目标解析

1.知识技能：

(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念；

(2)掌握过两点的直线的斜率公式及应用。

2.过程与方法：

(1)培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力；

(2)使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。

3.情感、态度与价值观：

(1)通过对直线倾斜角和斜率的学习，体验用代数方法刻画直线斜率的过程；

(2)通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维；

(3)激发学生学习数学的热情。

三、教学重难点

重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式。

难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式。

四、教学流程

（一）创设情境，揭示课题

思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？

问题1、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角）

问题2、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？

问题3、过点P与x轴形成45角的直线有几条？

如何区分清楚这两条直线呢？估计学生能想到还需要确定方向。选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？

0学生活动

由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式

（1）已知直线上两点[

（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度

学生可能回答x轴或y轴

（学生可能答一条或两条，教师演示结果）

（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分l1与l2）。

如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）

（二）新课讲授

1、

倾斜角的定义：

在平面直角坐标系中，以x轴为基准，当直线l与x轴相交

时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的

倾斜角。

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

倾斜角的范围是[00,1800) 思考：日常生活中，还没有表示倾斜程度的量？

初中对坡度是如何定义的？ 0

学生各抒己见

坡度(比)升高量

（即坡角的正切值）

前进量[来源:学科网ZXXK]当坡角增大时，坡度如何变化？00

当坡角90与0时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

2、斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即k0tan(90)

问题：当在[00,1800)内变化时，斜率k如何变化？

ylPOx

00<α<900k>0α=900k不存在900<α<1800k<0α=00k=0

倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？

倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。

问题、在平面直角坐标系中，已知直线上两点学生活动

（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1,P2及直线P1(x1,y1)，P2(x2,y2)且x1x2，能否用P1,P2的坐标来表示直线斜率k？

思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与PP12，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

解：设直线PP当直线PP12倾斜角为（90）12方向向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为(x2,y1)

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2，0y1y2，在RtP1P2Q中，

tantanQP1P2

QP2P1Qy2y1

x2x1P1,P2这两点坐标顺序有关系吗？[来源:学科网ZXXK]（2）当为钝角时，180（设QP1P2=2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？

3、斜率公式使用时应注意什么问题？

），x1x2，y1y2

tan=tan(180)tan，在l1,l2RtP1P2Q中，

3.斜率公式：已知直线上两点P1(x1,y1)，yy1

P2(x2,y2)且x1x2，则k2x2x1tanQP2QP1y2y1yy12x2x1x2x1

tany2y1（可让学生分组推导）

x2x1同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tanyy1y2y1，即k2

x2x1x2x1

（三）典例分析

例1

已知A （3，2），B

（–4，1），C （0，–1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）

【分析】已知两点坐标，而且x1

≠ x-2，由斜率公式代入即可求得k的值；

而当ktan0时，倾斜角是钝角；

而当ktan0时，倾斜角是锐角；

而当ktan0时，倾斜角是0°.

例2

在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.

【分析】要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.

（四）课堂检测

1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率

（1）30

（2）45

（3）120

（4）135

2.求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角

（1）C(18,8),D(4,4)

（2）P(0,0),Q(1,3)

3.已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点直线的倾斜角

（1）A(a,c),B(b,c)

（2）C(a,b),D(a,c)

（3）P(b,bc),Q(a,ca)

（五）反思小结，概括提炼

1、明确了确定直线位置的几何要素。

学生分析求解

，教师板书

例1

略解：直线AB的斜率k1

= 1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角.

直线BC的斜率k2 = –0.5＜0，所以它的倾斜角是钝角.

例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.

【分析】要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.



2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）

3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的数学思想

(六)板书设计

直线的倾斜角与斜率

1、倾斜角的定义

范围[0，180）

2、直线的斜率



（学生展示推导斜率公式的图形）



ktan（90）

为钝角时，

ktantan(180)tan

ktanyyxx2211