复习参考题优秀公开课教案

《空间向量与立体几何》复习课教学设计

1.

掌握空间向量及其加减、数乘运算

2.

掌握空间向量的数量积运算

3.

掌握立体几何中的向量方法

1.向量的直角坐标运算

设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则

a＋b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a－b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；a·b=a1b1+a2b2+a3b3，

a∥ba1=b1，a2=b2，a3=b3(R

)．或2．空间向量的平行、垂直及模、夹角

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则a∥b⇔a＝λb⇔_______________________________；

a⊥b⇔a·b＝0⇔______________________；

22|a|＝a·a＝a21＋a2＋a3；

a1a2a3，

a⊥ba1b1+a2b2+a3b3=0．

b1b2b3cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a·b＝222222

|a||b|a1＋a2＋a3

b1＋b2＋b33．空间向量的运算与线面位置关系的判定

(1)设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，

则l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0，

l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)．

2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则

l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；

l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；

α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0. 4．空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝|cos〈m，n〉|. 3)求二面角的大小．

(ⅰ)如图①，AB，CD是二面角α-l-β的

1

→→两个半平面α，β内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．

(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．

题型一：空间向量的概念及运算

例1：如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：

→→→→→→→→→→→→→→SA＋SB＋SC＋SD＝0；②SA＋SB－SC－SD＝0；③SA－SB＋SC－SD＝0；④SA·SB＝→→→→SC·SD；⑤SA·SC＝0，其中正确结论的序号是________．

→→→→→→容易推出：SA－SB＋SC－SD＝BA＋DC＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1→→的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA·SB＝2×2×cos∠ASB，

→→→→→SD＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA·SB＝SC·SD，因此④正确，其余三个都SC·不正确，故正确结论的序号是③④.

→1→→→→→练习1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则x＝________，4y＝________．

题型二：空间向量与线面位置关系

例2：如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：

(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.

【解析】(1)可以利用线面的平行来判定线面平行，也可以利用空间向量来求解．

(2)可以利用面面的垂直来判定面面垂直，也可以利用空间向量来求解．

【答案】(1)如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.

设PA＝AD＝a，AB＝b，则有，P(0，0，a)，A(0，0，0)，

D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)，

bbaa，0，0，N，，.

因为M，N分别为AB，PC的中点，所以M22222

→→aa→所以MN＝0，2，2，AP＝(0，0，a)，AD＝(0，a，0)，

→1→1→所以MN＝AD＋AP.又因为MN⊄平面PAD，

22所以MN∥平面PAD.

→→b，0，－a，

(2)由第一问可知PC＝(b，a，－a)，PM＝2→PD＝(0，a，－a)．

设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

→n·PC＝0⇒bx＋ay－az＝0，则

→bn·PM＝0⇒x－az＝0，211111112ax1＝bz1，所以令z1＝b，

y1＝－z1，则n1＝(2a，－b，b)．

设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

→n·PC＝0⇒bx＋ay－az＝0，则

→n·PD＝0⇒ay－az＝0，2222222x2＝0，所以

y2＝z2，令z2＝1，则n2＝(0，1，1)．

因为n1·n2＝0－b＋b＝0，

所以n1⊥n2.

所以平面PMC⊥平面PDC. 练习2：如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)求证：AC⊥BC1；

(2)在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1? 归纳总结

用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法

(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直. 3

(3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有：

①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明可在平面内找到的一个向量与直线的方向向量是共线向量. (4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有：

①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；

②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；

②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；

②转化为线面垂直、线线垂直问题. 题型三：空间向量与空间角

例3：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱BB1的中点. ①求直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值；

②求二面角A-MC1-A1的余弦值.

【解析】(1)。利用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．

（2）解题时，注意把要成立的结论做为已知条件，据此列方程或方程组，把存在性问题转化为“点的坐标是否存在，在限制范围内是否有解”等，因此把空间问题转化为运算问题，使问题的解决变的简单更有效

【解析】以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则：

A(0，1，0)，A1(0，1，1)，M(0，0，

1

)，C1(1，0，1).

2

AC1

=(1,-1,1),

AM

=(0,-1,

1

),

A1M

=(0，-1，

设平面AMC1的法向量是n1=(x1,y1,z1),

则AMn1AC1n1

解得

1

)，

2x1y1

z12y1230

15取y1=1,则n1=(-1,1,2),∴直线A1M与平面AMC1所成的角θ满足:sinθ=|cos〈A1M

，

n1〉|=即直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值是

230

15练习3。.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_________.

4

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是(

) A.6

41B.

6C.6

3D.3

22.如图，过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是(

)

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

3．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则下面结论错误的为(

) A．AC⊥BD

B．△ACD是等边三角形

D．AB与CD所成的角为60°

C．AB与平面BCD所成的角为60°

4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．

5.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：

(1)DE∥平面ABC；

(2)B1F⊥平面AEF. 5