第四章 圆与方程（通用）ppt课件课堂实录

4.1.2

圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.

（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学环节

教学内容

问题：求过三点A

(0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程.师生互动

设计意图

利用圆的标准方程解决此问题显课题然有些麻烦，得用直线的知识解决又有让学生带着问题进行思考

设疑激趣导入课题. 引入

其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程. 概念形成与深化

请同学们写出圆的标准方程：(x

–

a)2 + (y –

b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2

–

（1）①x2和y2的系数相

r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.同，不等于0.身体会圆②没有xy这样的二次项.的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件. 反过来给出一个形如x2

+ y2

+ Dx

+ Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得程就确定了.D2E2D2E24F②(配(x)(y)224（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2 + E2

– 4F＞0时，方程②表示以(DE,)为圆心，221D2E24F为半径的圆；2（2）当D2 + E2

– 4F = 0时，方程只有实数解xDE即只表示,y，22一个点(DE,)；22（3）当D2 + E2

– 4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D2 + E2

– 4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx

+ Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程. 练习提问：

判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出应用举例

圆的圆心及半径.学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一

通过例题讲解使学生理（1）4x2 + 4y2

– 4x + 12y + 9 = 0般方程的判断方法求解.但是，解圆的一（2）4x2 + 4y2

– 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为要注意对于（1）4x2 + 4y2

– 4x

般方程的+ 12y + 9 = 0来说，这里的D = 代数特征

9x2 + y2

–

x + 3y += 049D = –1，E =3，F =.4–1，E

= 3，F及与标准9而不是D

= 4方程的相互转化更进一步培–4，E = 12，F = 9. ∵D2 + E2

– 4F = 1＞0养学生探索发现及分析解决问题的能13∴此方程表示圆，圆心（，），221半径r =.2力. （2）将原方程化为x2 + y2 –

x + 3y +11= 04D = –1，E =3，F =11.4D2 + E2

– 4F = –1＜0∴此方程不表示圆. 例1 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C

(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.例1 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：

1．根据题设，选择标准方程或一般方程. 2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程. 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：F0即DEF204D2EF200解此方程组，可得：D= –8，E=6，F = 0∴所求圆的方程为：x2 + y2

– 8x +

6y = 0r1D2E24F5；2DF4,3.22得圆心坐标为(4，–3).或将x2 + y2

– 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x

– 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3). 例3 已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1\2的点的轨迹，求此曲线的的方程，并画出曲线

课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题. 1．圆的一般方程的特征

2．与标准方程的互化

归纳总结

3．用待定系数法求圆的方程

4．求与圆有关的点的轨迹

教师和学生共同总结

教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.

让学生更进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程. 课后作业

布置作业：见习案4.1的第二课时

学生独立完成

巩固深化

备选例题

例1

下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径. （1）x2 + y2 + x + 1 = 0；

（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)；

（3）2x2 + 2y2 + 2ax

– 2ay = 0 (a≠0). 【解析】（1）因为D

＝

1，E

＝

0，F

＝

1，

所以D2 + E2

– 4F＜0

方程（1）不表示任何图形；

（2）因为D

＝

2a，E

＝

0，F

＝

a2，

所以D2 + E2

– 4F

＝

4a2

– 4a2 = 0，

所以方程（2）表示点(–a，0)；

（3）两边同时除以2，得x2 + y2 + ax

–

ay = 0，

所以D = a，E = –

a，F = 0.

所以D2 + E2

– 4F＞0，

aa12所以方程（3）表示圆，圆心为(,)，半径rD2E24F|a|. 2222

点评：也可以先将方程配方再判断. 例2

已知一圆过P

(4，–2)、Q(–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程. 【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之. 【解析】法一：设圆的方程为：

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

①

将P、Q的坐标分别代入①得

4D2EF20

D3EF10②

③

令x = 0，由①，得y2 + Ey + F = 0

④

由已知|y1

–

y2| = 43，其中y1，y2是方程④的两根. ∴(y1

–

y2)2 = (y1 + y2) – 4y1y2 = E2

– 4F = 48

⑤

解②③⑤联立成的方程组，得

D2D=-10E0或E=-8

F12F=4故所求方程为：x2 + y2

– 2x

– 12 = 0或x2 + y2

– 10x

– 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ的中垂线方程为x

–

y

– 1 = 0

①

∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为(a，a

– 1)，

又圆C的半径r|CP|(a4)2(a1)2

②

由已知圆C截y轴所得的线段长为43，而圆C到y轴的距离为|a|. r2a2(43)2

2代入②并将两端平方，得a2

– 5a + 5 = 0，

解得a1 = 1，a2 = 5. ∴r113,r237

故所求的圆的方程为：(x

– 1)2 + y2 = 13或(x

– 5)2 + (y

– 4)2 = 37. 【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多. （2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算. 例3

已知方程x2 + y2

– 2(t + 3)x + 2(1 –

t2)y + 16t4 + 9 = 0表示一个圆，求

（1）t的取值范围；

（2）该圆半径r的取值范围. 【解析】原方程表示一个圆的条件是

D2 + E2

– 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t2)2

– 4(16t 4 + 9)＞0 1即7t2

– 6t

– 1＜0，∴t1

7D2E24Fr(t3)2(1t2)2(16t49)7t26t14（2）

32167(t)772∴0r21647,0r77