习题2.3ppt配用优秀教学设计

知识拓展 立体几何专题——三垂线定理及其逆定理

教学内容分析：本节课是针对人教版必修二立体几何初步进行的知识拓展。学生普遍反映用定义法求二面角是解题的难点，所以利用这节课的讲解给学生增加一种求二面角的方法。同时三垂线定理的应用对解决新课标提出的能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系，作出了很好的补充。并能对本章知识的学习进行再认识，巩固了所学知识，拓展了解题和思维方法。在学习当中还渗透了前后联系，数形结合，化归，转化等数学思想，着重培养学生数学抽象，直观想象核心素养。

学情分析：学生已学完立体几何初步这一章节内容，目前处于巩固练习阶段，学生对二面角求解感到困难，急需一种新的，涵盖性全的方法，所以现在给出三垂线法恰到好处。半年多的磨合下，学生已适应了“先学后教”的教学模式，并有一定的自主学习能力，所以这节课采用翻转课堂教学模式。

教学目标分析：

1、知识目标：

理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理，学会用三垂线法求二面角。

2、能力目标：

（1）理解三垂线定理及其逆定理之间的关系，掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律；

（2）善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题；

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（3）进一步培养学生的识图能力、思维能力和解决问题的能力，以及自主学习能力

3、德育目标：通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．着重培养学生数学抽象，直观想象核心素养。

重难点分析：

教学重点：巩固三垂线定理及其逆定理的内容并解决两个定理的相关应用，特别强调求解二面角这一应用。

教学难点：对复杂图形如何分离出符合定理的条件用以解题以及解决问题的能力的培养

教学模式：翻转课堂，讲练结合 教学过程：

一、观看和学习微课，自己认识三垂线定理及其逆定理（课下已完成）

二、三垂线定理及其逆定理的剖析（对两定理的再认识）

1、

再认识三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。

再认识三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

问题：两个定理研究的是哪两条线的垂直关系？它是如何解决的？解决问题的主要思想使什么？

设置目的：让学生通过分析得出三垂线定理是通过判断平面内的直线与斜线在平面内的射影垂直来得到这条直线与斜线的垂直关系，

逆定理是线斜垂直推出线射垂直。从而让学生体会三垂线定理中蕴含

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的降维思想：把空间问题转化为平面问题。

教师再引导学生分析其中的数学思想：把空间中的条件归结到同一个平面中，这在解题中是非常重要的，把已知条件相对集中是解题的第一步。

2、讨论正定理与逆定理的关系：（有师生共同总结得出）

（教师板书）正定理：线射垂直线斜垂直

逆定理：线斜垂直线射垂直

3、对两个定理的说明：

（1）两个定理描述的都是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系，也即三垂直。

（2）a与PO可以相交，也可以异面。（问a与PO的关系，强调a）

（3）具体方法：一垂、二射、三证

①找平面(基准面)及平面垂线（必须有线面垂直的前提）

②找射影线

③证明射影线或斜线与直线a垂直

三、定理应用举例

应用一、证明线线垂直

例1、判断下列命题的真假：

（1）若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ）

（2）若 a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内

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的射影，则 a⊥b （ ）

（3）若a是平面α的斜线，直线b

α且b垂直于a在另一平面β内的射影，则a⊥b （ ）

（4）若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ）

注意：1°四线是对同一个平面而言. 2°定理的关键（也是前提）找“平面的垂线”（线面垂直）. 教学安排：教师组织其他学生讨论（3分钟限时做题讨论，利用计时器限时），分享讨论结果。教师点评强调运用定理时需要注意的地方。（注意：三垂线定理要满足的条件：b是平面α内的直线）

例2、已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC，

求证： PC ⊥ BC。

设置目的：①让学生逐步掌握应用定理证明两条直线垂直的一般步骤，巩固学生对两个定理的认识；②通过对问题的解决让学生能够区分正定理和逆定理，在解题时能够正确的选用；③题中没有配图，让学生学会根据已知信息画出几何图形，锻炼学生作图这一基本技能。

教学安排：教师先给出题干部分，让学生根据已知信息画出几何图形，教师再给出问题。由于题目并不难，可以由学生讨论解决，但这里主要是组织学生对运用三垂线定理解题的步骤的归纳。

教学安排：由学生根据已知信息画出几何图形，把优秀图形代表投屏到大屏幕，然后学生分组讨论完成解题，教师组织学生对运用三

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垂线定理解题的步骤进行归纳。

应用二、三垂线法求二面角

问题1：回顾二面角的定义，回答：利用几何法求二面角的大小时的第一步是什么？（定义法求二面角时，我们先做什么工作？）

生答：利用几何法求二面角的大小时第一步就是要作出二面角的平面角

加问：二面角的平面角怎么做？板书作图

问题2：为什么利用三垂线定理及其逆定理可以作出二面角的平面角？（让学生再次认识三垂线定理及其逆定理的结论，同时巩固学生对二面角的平面角定义的理解）

教学安排：教师展示利用三垂线定理及其逆定理求作二面角的平面角的过程，教师再点明问题中主线是找到二面角的棱。

反推利用三垂线法作二面角的基本思路：找线面垂直，过垂足作二面角棱的垂线。强调基本方法：一垂，二射，三证

例3、

已知：如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1， 底面边长为2，E是侧棱BC的中点求：面C1DE与面CDE所成二面角的正切值

5 →

→

检验微课学习成果：安排两名同学分别用三垂线定理和逆定理讲解解题过程。

设置目的：让学生熟悉利用三垂线法求作二面角的平面角的基本方法，让学生体会到三垂线定理及其逆定理在求解二面角问题中的应用，并检验学生的自主学习能力，锻炼学生的表达，演讲能力。

练习1：如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=22 , AA13 ,

,求平面B

A1CE,F分别为AB和AD的中点EF 和平面ABCD所成二面角的大小? （由学生独立完成，然后投屏讲解过程）

E

设置目的：对例3的巩固练习，并点出此题也可用定义法。

D1

C1

A1

B1

D

F

A

E

B

C

练习2：在四棱锥P-ABCD 中，已知底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD，PD =２DC，求二面角C –PB –D的正切值。

教师安排：让学生思考后讨论解法，共同分析解题思路。

四、课堂小结

问题：今天，我们研究了哪些问题？（学生讨论，归纳总结这节

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课的研究的主要内容，教师出示幻灯片） 1、认识三垂线定理与其逆定理的内容和关系：

正定理：线射垂直线斜垂直（先平面，后空间）

逆定理：线斜垂直线射垂直（先空间，后平面）

2、利用两个定理解题的具体方法：一垂、二射、三证

3、两个定理的主要应用：

（1）证明线线垂直；（2）寻找二面角的平面角。

4、思想方法：数形结合与转化思想

5、核心素养：数学抽象，直观想象，数学运算等数学核心素养

五、布置作业：同步练习（课外作业选做）

六、板书

七、课后反思

1、学生对例题的掌握只限于如何解这道题，并没有上升到如何利用三垂线定理的关键（找线面垂直，与过垂足做二面角棱的垂线），在今后的练习中要加强训练。

2、本节课特意设置了两道自己画图的题，想考察一下学生的作图能力，虽然有心里准备，但还是对同学们的表现感到失望，今后还要加强对学生的作图这项基本技能的培养。

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