正多边形的有关计算第二课时教学实录

和圆有关的计算

知识点：正多边形和圆、正多边形的有关计算、等分圆周、圆周长、弧长、圆的面积、扇形的面积、弓形的面积、面积变换

大纲要求：

1．了解用量角器等分圆周的方法，会用直尺和圆规画圆内接正方形和正多边形；

2．

掌握正多边形的定义和有关概念、判定和性质；

3．

熟练地将正多边形的边长、半径、边心距和中心角有关计算转变为解直角三角形问题来解诀；

4．熟练地运用圆周长、弧长公式、圆的扇形弓形面积公式进行有关计算；

5．明确图形构成，灵活运用、转化思想，提高解决综合图形面积的计算能力；

6．注意（1)任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，反之也成立；(2) 证多边形是轴对称图形，且正n边形有n条对称轴；(3)正多边形不一起是中心对称图形，有奇数条边的正多边形没有对称中心，有偶数条边的正多边形有对称中心就是它的中心；(4)解诀正多边形问题经常需要作出它的外接圆，可转化成解直角三角形问题。

考查重点与常见题型

求解线段的长及线段的比，角的大小，三角函数的值及阴影部分的面积等。此类问题问题在近三年的中考题中也是多见，求线段的长及比，角的大小等多数是利用恰当地设未知数、列方程的思想方法来加以解决。求阴影部分的面积除考查了扇形等图形面积的求法，还重点考查学生灵活应用知识的能力，求阴影部分的面积多半用两种方法解决:一种是将所求阴影部分的面积转化为所学过的易求图形的面积的和或差；一种是恰当地引辅助线，将所求阴影部分的面积转化为所学过的易求图形的面积。

预习练习

1.填写下表：

边数

n 3 4 6 内角

a

中心角

an

半径

Rn

边长

an

3

边心距

rn

周长

Pn

面积

Sn

16

23 2.扇形的圆心角度数60°，面积6π，则扇形的周长为

；

3．已知扇形的圆心角为140°，弧长为20πcm，则扇形的面积为 ；

4．圆的半径为4cm，弓形弧的度数为60°，则弓形的面积为

；

5．两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为6，则两圆围成的环形面积为

。

1

考点训练：

1．已知扇形的半径为23 ，它的面积等于一个半径为2 的圆的面积，则扇形的圆心角为( )(A)90° (B)120° (C)60° (D)100°

2．两圆的之比为1：3，则小圆的外切正三角形与大圆的内接正三角形的面积之比为( ) (A)1：9 (B)1：3 (C)2：3 (D)4：9 3．如图，⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切于⊿ABC ，则阴影部分面积为( ) (A)12-π (B)12-2π (C)14-4π (D)6-π

4．同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为 。

5．正三角形边长为a，高为h ,圆的半径为R，内切圆半径为r，则h：R：r= . 6．边长为a的正六边形对角线的长为 。

7．圆外切正方形半径为2cm，该圆内接正六边形的面积为 . 8．如图：O内切于弓形ADB的最大的圆，且弧ADB的度数

为120°，则⊙O的周长：L弧AB= 。

9．如图，C、D是以AB为直径的圆周三等分点，⊙O的半

径为R，则图中阴影部分面积为 。

10．如图，在矩形ABCD中，AB=8 cm，将矩形绕点A转90°，

到达A‵B‵C‵D‵的位置，则在转过程

中，边CD扫过的

(阴影部分)面积S= 。

11．如图，正方形ABCD边长为2 cm，以B圆心作弧AC，P是弧AC 上一点，PE⊥CD于E，

弧PA的长。

12．如图，扇形OAB的中心角∠AOB=90°，以AB为直径向形外作半圆弧ANB，以O为圆心，AO为半径作弧AMB，求证：弧AMB与弧ANB所围成的月牙形面积和⊿AOB的面积相等

2

解题指导：

1．

如图，已知扇形OACB中，∠⊙ AOB＝120°，弧AB长为L＝4，⊙O和弧AB、OA、OB分别相切于点C、D、E，求⊙O的周长。

2．

如图，半径为的正三角形ABC的中心为O，过O与两个顶点画弧，求这三条弧所围成的阴影部分的面积。

3．

如图，割线PCD过圆心O，且PD＝3PC，PA、PB切⊙O于A、B，∠APB＝60°，PA＝4，AB与PD相交于E，求弓形ACB的面积。

4．

如图，同心圆O，大圆的面积被小圆所平分，若大圆的弦AB，CD分别切小圆于E、F点，当大圆半径为R时，且AB∥CD，求阴影部分面积。

3

独立训练：

1．

在半径为2cm的圆内，30°、45°、60°、90°、120°的圆心角所对的弧长分别为 。

2．

弧长为15cm，它所对的圆心角为60°，圆的直径为 。

3．

边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为 。

4．

矩形ABCD中，对角线AC＝4，∠ACB＝30°，以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是 。

5．

如图，矩形ABCD中，AD＝2AB＝2。以D为圆心AD为半径的

弧交BC于F，交DC的延长线于E，则图中阴影部分面积

为 。

6．

如图，矩形ABCD中，以AB为直径的半圆O切CD于E，AB＝a，

求夹在BD，DE及弧BE间阴影部分面积

7．

如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，⊙O半径为3，求阴影部分面积。

8．

如图，AB是⊙O直径，CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD交⊙O于F，∠A＝60°，AB＝4，求阴影部分面积。

4