反证法特级教师教学实录

科目

课题

主备人

数学

年级

九年级

班级

课时

1 时间

课型

年

月

日

新授课

24.2.1反证法

审核人

指导教师签字

（限师徒结对）

一、知识与技能

1.通过实例，理解反证法的含义；

2.了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的真命题.

3.培养用反证法进行简单推理的技能，同时培养观察能力、分析能力、逻辑推理能力. 二、过程与方法

教学目标

1.通过反证法的证明过程，体会新的证明方法和思路；

2.在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性

三、情感态度价值观

1.通过反证法，体会”正难则反”思想，开拓思维，同时渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想

2.过刚易折，以退为进，获得人生感悟

教学重点

1.理解反证法的概念.

2.体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤.

教学难点

理解反证法证明的思路：类似于“负负得正”.

教具

PPT

教学内容及过程（含教学方法及手段）

二次备课

一、情境引入

中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李子树上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动，有人问王戎为什么不去摘李子？王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的思考问题的方法？

二、探究新知

在ABC中，ABc,ACb,BCa，如果C90，a,b,c三边有何关系？为什么？

学生回答：因为C90，所以ABC是直角三角形，由勾股定理知

oo

a2b2c2

问题：若将上面的条件改为“在ABC中，ABc,ACb,BCa，如果C90o”请问结论“a2b2c2”成立吗?请说明理由。

正面正面不知道从何下手，所以我们可以从反面考虑：假设abc，由勾股定理的逆定理可知，ABC是以C为直角的直角三角形，222

C90o，这与已知条件C90o矛盾！假设不成立！所以a2b2c2。

这种证明方法与以前的证明方法不同，它不是直接证明法，而是间接证明法：是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出与已知条件、定理、公理等矛盾的结论，从而得到原结论的正确。像这样的证明方法叫做反证法。

反证法定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。

反证法三步骤：

（1）（反设）先假设原命题的反面是正确的；

（2）（归谬）以假设为条件进行推理，直至获得一条与已知条件、定理或公理等矛盾的结论；

（3）（结论）否定假设，得出题目原结论是正确的。

三、应用新知

例1.在ABC中，ABAC，求证：BC. 教师板演：证明：假设BC，

则ABAC（在同一个三角形中，等角对等边）

这与已知条件ABAC矛盾！

假设不成立！

BC

假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确

四、练习巩固

练习1：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°

题设：ABC

结论：ABC中至少有一个内角小于或等于60°

问：怎么否定结论？

“至少有一个”的否定：一个都没有

延伸：“至多有一个”的否定：两个或两个以上

证明：假设ABC中没有一个内角是小于或等于60°，即每一个内角都是大于60°：

A60，B60，C60

于是有ABC180

但是三角形内角和定理告诉我们：ABC180，矛盾！

所以假设不成立！

在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°

练习2：求证在圆中，直径是最长的弦。

怎样反设？

（假设存在弦CD比直径AB长）

练习3：已知实数abc0，且abc，求证：a0,c0.

怎样反设？

（假设a0）

练习4：经过同一直线上的三点不能作出一个圆. 怎样反设？

“不能”改为“能”

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五、归纳总结

反证法一般用于证明有下列特点的命题：

（1）直接证明困难的；

（2）有“至多”“至少”型命题

（3）否定性命题

归谬矛盾：

（1）与已知条件矛盾；

（2）与已有的定义、定理、公理、事实矛盾

六、作业布置

用反证法证明：

1.三角形的内角至多有一个钝角. 2.若(ab)(bc)(ca)0，则a,b,c必至少有两个是相等的. 3.（选做）证明：2是无理数. 教学反思：反证法是一种间接证明的基本法，能很好的开拓学生思维，提供解决问题的新途径。只是作为初中生要掌握这种方法还是不容易的，所以这节课的目的只在于让初中生对反证法有一个基本的了解，所选例题和练习都较为简单，既能较好体现反证法的思想与操作流程，也能很好地训练学生的逆向思维能力。整节课，反证法的概念理解对学生来说有困难，借用数的乘方规则“负负得正”来帮助起到良好效果，进一步深化只能靠后面慢慢积累了，同时这种证明方法也被个别学生质疑，感觉怪怪的，有排斥感，所以对于初中生而言只能点到即止。