1.1.3 四种命题间的相互关系名师教学设计2

第三课时 逻辑联结词与四种命题

【教学目标】了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用

【知识要点】

一、逻辑联结词

1．命题：可以判断真假的语句叫做命题

2．逻辑联结词：“或（∨）”、“且（∧）”、“非（┐）”这些词叫做逻辑联结词。

或：两个简单命题至少一个成立 且：两个简单命题都成立， 非：对一个命题的否定

3．简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。

4．表示形式：用小写的拉丁字母p,q,s,t来表示简单的命题，

复合命题的构成形式有三类：“、“p且q”、“非p”

p或q”5．真值表：表示命题真假的表叫真值表；复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定。

p

真

真

假

假

q

真

假

真

假

┐p

p∨q

真

真

真

假

p∧q

真

假

假

假

假

假

真

真

二、四种命题

1．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定。于是四种命题的形式为：

原命题：若p则q（pq）

p(qp)

原命题

若互

逆

互

逆命题

若q则逆命题：若q则否命题：若┐p则q

否

逆

逆

p

p则┐q(pq)

p(qp)

互

否

否命题

若p则q

互

为

为

互

否

逆否命题

若q则p

逆否命题：若┐q则┐

否

互

逆

2．四种命题的关系：

3．一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：

（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。

（2）原命题为真，它的否命题不一定为真。

（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。

（4）逆命题为真，否命题一定为真。

三、几点说明

1．逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义：

以“p或q”为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q成立，

2．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论

3．真值表 p或q：“一真为真”， p且q：“一假为假”

4．互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。

1

5．反证法运用的两个难点：1）何时使用反证法 2）如何得到矛盾。

【主要方法】

1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比； 2．通常复合命题“p或q”的否定为“p且q”、“p且q”的否定为“p或q”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；

3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p，则q”的形式；

4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾． 【基础复习】

1、命题p:若a,bR,则a+b>1是ab>1的充分而不必要条件.；命题q:函数y域是,1x12的定义3,.则………………………………………………( D)

A. “p或q”为假

B. “p且q”为真

C.p真q假

D.p假q真

2、设p,q为简单命题,则“p且q”为假是“p或q”为假的……………………( B)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3、由“p:8+7=16,

q:>3”构成的复合命题,下列判断正确的是…………………………( A )

A.p或q为真,p且q为假,非p为真.;

B. p或q为假,p且q为假,非p为真.;

C. p或q为真,p且q为假,非p为假.;

D. p或q为假,p且q为真,非p为真. 4、设A,B为两个集合,下列四个命题: ①AB对任意xA,有xB ;②ABAB；③ABBA;④AB存在xA,使得xB;

其中真命题的序号是___④

_.(把符合要求的命题序号都填上)

5、写出命题“若xA且x，则BxA。B.则xA或xB”的逆否命题：

若xA

B26、设有两个命题:①关于x的不等式mx10的解集是R；②函数f(x)=logmx是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则实数m的取值范围是1,0

【例题分析】

例1、已知全集U=R,集合Px|x22x30,若xPZ与xZ都是假命题,求x的值. 解：Px|x22x30x|x3或x1 xP

Z与xZ都是假命题0，，12

2

例2、已知命题p: 函数ylog0.5(x22xa)的值域为R.命题q: 函数y(52a)x是减函数.若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数a的取值范围. 解：函数ylog0.5(x22xa)的值域为R44a0a1

函数y(52a)x是减函数52a1a2

p或q为真命题, p且q为假命题p,q中一真一假

a1a1或a或1

a2a2052a11例3、设命题P：方程x2(2k1)x(k)0的两根都小于2；命题q：方程x22x(3k1)0有2两个正实数根。若命题"p或q"为真，而命题"p且q"为假，求实数k的取值范围. 答案：

k的取值范围为31123,,,

103232111例4、已知c0，设命题P:limcn0，命题Q:当x若命题,2时，函数f(x)x恒成立。nxc2"p或q"为真，而命题"p且q"为假，求实数k的取值范围.

例5、二次函数f(x)ax2bxc(a0)，记b24ac，试判断下列命题的真假。若命题为假，请举一个反例；若命题为真，试证明之。

2

命题1：若b4ac0，则af(x)0。

2命题2：若b4ac0，x1,x2为方程ax2bxc0的两根，且x1x2，则当x1xx2时，af(x)0；当xx2或xx1时，af(x)0。

3

例6、在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，若，求证：B必为锐角。

1a1c2b

例7、若a,b,c为实数，且ax22y,by22z,cz22x236，求证：a,b,c中至少有一个大于0。

【课外练习】

1、命题“若A

A

若ABA则AB”的逆否命题是…………………………………（C）

BA，则AB；

BA。

BB，则AB；

B

若AC

若AB，则A2、对于命题BA；

D

若AB；则Ap和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：①p或q是真命题，②p且q是真命题，③p

且q是假命题，④p或q是假命题，其中真命题是……………………………（C）

A

①②

；

B

③④

；

C

①③

；

D

②④

3、已知命题p：无穷数列an的前n项和为Sn，若an是等差数列，则点列n,Sn在一条抛物线上；p的逆否命题s与命题q的逆2命题q:

若实数m1,则mx(2m2)x10的解集为R。对于命题命题r，下列判断正确的是…………………………………………………………（C）

A.s是假命题，r是真命题；

B.s是真命题，r是假命题；

C.s是假命题，r是假命题；

D.s是真命题，r是真命题

4、已知命题p：函数ylogaax2a0a1的图象必过定点1,1；命题q：如果函数yfx3

4

的图象关于原点对称，那么函数yfx的图象关于3,0对称，则…………………………（C）

A．“p且q”为真；

B．“p或q”为假；

C．p真q假；

D．p假q真

5、设函数fx的定义域为R，有下列三个命题：

①若存在常数M，使得对任意xR，有fxM，则M是函数fx的最大值；

②若存在x0R，使得对任意xR且xx0，有fxfx0，则fx0是函数fx的最大值；

③若存在x0R，使得对任意xR，有fxfx0，则fx0是函数fx的最大值；

这些命题中，真命题的个数是……………………………………………（C）

A．

0个；

B．1个；

C．2个；

D．3个

6、张老师给出一个函数yf(x)，请四个学生各指出其中一个性质。

学生1：对于xR，都有f(x)f(x)；

学生2：函数yf(x)的图象关于原点对称；

2学生4：函数yf(x)有最大值m和最小值n，且mn。

学生3：函数yf(x)

满足f(xy)f(x)f(y)f(x)f(x);

2张老师说：你们四个人中恰有三个人是正确的。则张老师给出的函数可能是ysinx。

（只要写出一个适合的答案即可）

7、已知函数f(x)x|x|pxq(xR)，给出下列四个命题：

①f(x)为奇函数的充要条件是q0；

②f(x)的图象关于点(0,q)对称；

③当p0时，方程f(x)0的解集一定非空；

④方程f(x)0的解一定不超过两个。

其中所有正确命题的序号是

①②③ 。

8、给出下列命题：

①平面、、，若，，则//；

②函数fxx2的最小值为22；

xxx1③若fxx2bxcb,cR,则f12fx1fx2恒成立；

22④

在ABC中，若AB，

则cos2Acos2B。则其中正确的是

③④ 9.已知函数fx是R上的增函数，a,bR，对命题“若ab0，则fafbfafb”。

⑴写出它的逆命题，判断真假，并证明你的结论；⑵写出它的逆否命题，判断真假，并证明你的结论

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10、用反证法证明：已知fxx2bxc，则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于1

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