6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质优秀公开课教案

三角函数的性质复习课（一）

执教人：喻瑛

一. 教学目标：

1.

知道正弦函数，余弦函数，正切函数的值域。

2.

能三角函数有界性求三角函数的值域。

3.

能将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域。

二. 教学重点：

掌握三角函数值域的求法。

三. 教学难点：

三角函数值域的求法。

四.教学过程：

1. 回顾本章的三角函数性质。

三角函数的图象与性质

三角函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

{x|x∈R，

定义域

R

R

且x≠kπ＋

，k∈Z}

三角函数

y＝sinx [－1,1]，

π当x＝2kπ－2(k∈Z)时，yminy＝cosx y＝tanx

[－1,1]，当x＝2kπ时(k∈Z)，ymax＝1，值域R，无最大当x＝2kπ＋π时(k∈Z)，ymin＝－1 值和最小值

值域和最值

＝－1，

π当x＝2kπ＋2(k∈Z)时，ymax＝1

三角函数

周期

y＝sinx 2π

奇

y＝cosx 2π

偶

y＝tanx

π

奇

奇偶性

单调区间

对称中心(kπ，0)k∈Z对称对称性

π轴x＝kπ＋2，k∈Z

πkπ对称中心(kπ＋，0)，k∈Z 对称中心(，0)，22对称轴x＝kπ，k∈Z

k∈Z无对称轴

ππ增区间[2kπ－2，2kπ＋2] π减区间[2kπ＋2，2kπ＋3π2](k∈Z) 减区间[2kπ，2kπ＋π]

增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z) π在(kπ－，kπ＋2π2)(k∈Z)上是增函数

2.求三角函数值域的方法回顾。

点评：求三角函数值域常用的方法．

(1)将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化成y＝asin2x＋bsinx＋c型的值域问题．

(2)化为一角一函形式求．

(3)利用sinx、cosx的有界性求值域．

(4)换元法．

利用换元法求三角函数的值域，要注意换元前后的等价性，不能只进行换元，不注意其等价性．

(5)数形结合．

例1：求下列函数的值域：

π（1）y＝sinx(|x|≤4)；

ππ(2) y＝sin(x＋6)(|x|≤2) ππ(3) y＝sin(2x＋4)(0< x≤2)

例2：求下列函数的值域：

π（1）y＝3sinx＋cosx(|x|≤2) π解析：(1)y＝3sinx＋cosx＝2sin(x＋6)．

ππππ2π因为－2≤x≤2，所以－3≤x＋6≤3. π3所以sin(x＋6)有最小值－2，最大值1，

故值域为[－3，2]

π(2)y＝cosx＋2sinx(|x|≤4)；

2解析：y＝1－sin2x＋2sinx＝－(sinx－1)2＋2. π22因为|x|≤4，所以－2≤sinx≤2. 21当sinx＝－2时，ymin＝2－2，

21

当sinx＝2时，ymax＝2＋2. π11所以函数y＝cosx＋sinx(|x|≤4)的值域是[2－2，2＋2]．

2

(3)y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x. 解析：y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x

1－cos2x3＋3cos2x＝＋sin2x＋

22π＝sin2x＋cos2x＋2＝2sin(2x＋4)＋2. 故函数的值域为[2－2，2＋2]．

[点评]

差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等．

练习：

（1）函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)．求函数f(x)的最小正周期和最大值；

解析：(1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝1＋2πππ(sin2xcos－cos2xsin4)＝1＋2sin(2x－4)，所以函数f(x)的最小正4周期为π，最大值为1＋2.

（2）已知函数f(x)＝2acos2x＋bsinxcosx(a>0，b>0)，f(x)的最大值为11＋a，最小值为－2.求f(x)的最小正周期；

b

[解析]

(1)f(x)＝a(1＋cos2x)＋2sin2x

＝2ba2＋4sin(2x＋φ)＋a，

由题设知b2a＋4＝1，a－2b21a＋4＝－2，

21所以a＝2，b＝3 311所以f(x)＝2sin2x＋2cos2x＋2

π1＝sin2x＋6＋2，

所以f(x)的最小正周期为π.

4．课堂小结。

5.课后作业。