6.4 反三角函数优秀教学设计

§6.4 反三角函数

上海市

宜川中学李新

教学目标：

1. 理解反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的定义；

2. 掌握反三角函数的图像与性质；

3. 会由已知三角函数的值求角，会用反三角符号表示角；

教学重点：

1. 经历在三角函数的某个单调区间上建立反三角函数的过程；

2. 理解反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的概念，知道它们的图像和性质；

3. 会用反三角函数的值表示角的大小；

教学过程：

1.

复习引入：

思考：什么是函数fx的反函数？

思考：正弦函数有没有反函数？

思考：怎样定义反正弦函数？

我们知道，对于函数yfx,xD，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D

中都有位移确定的值x与它对应，使yfx，那么就可以定义函数fx的反函数；但正弦函数ysinx,xR在值域1,1上的任何一个值y都对应着无限多个x的值，因此定义在R上的正弦函数不能定义反函数；类似地，余弦函数和正切函数在R上也没有反函数，但可以在某个单调区间上定义它们的反函数。

选择单调区间时要具备以下两个条件：1）包含锐角的区间0,；2）在这个单调区2间上能得到该三角函数的一切值；

2.

反三角函数的概念：

∴1）函数ysinx,x值域为,；

22,的反函数叫做反正弦函数，记作yarcsinx,x1,1

222）函数ycosx,x0,的反函数叫做反余弦函数，记作yarccosx,x1,1，值域为

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0,；

3）函数ytanx,x为,；

22,的反函数叫做反正切函数，记作yarctanx,xR，值域22反正弦函数、反余弦函数和反正切函数都叫做反三角函数。

2. 反三角函数的图像与性质：

1）图像：yarcsinx,x1,1

yarccosx,x1,1

yyyarcsinx2yxysinx,x,22yarccosx2yx12012x121x01ycosx,x0,2

yarctanx,xR

yytanx,x,222yxyarctanx202x2

x,nxR

yarcsinx,x1,1

yarccox,sx1,1

yarcta2）定义域：

1,1；

1,1；

R；

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3）值域：

,；

0,；

,；

22224）奇偶性：

奇函数；

非奇非偶函数；

奇函数；

arcsinx

arccosx

arctanx

arcsinx

arccosx

arctanx

5）单调性：

单调递增；

单调递减；

单调递增；

例1：下列式子中没有意义的是（

）

A）arcsin2

B）arctan

C）arccos

D）arctan

222例2：求下列函数的定义域和值域：

（1）y1arcsin2x1

2解：∵12x11 ∴x0,1，即定义域为0,1

∵2arcsin2x12 ∴y,，即值域为,；

4444（2）yarcsinx2

22221,,解：∵1x1 ∴x，即定义域为

2222221211∵x2,1 ∴y,，即值域为,；

226262（3）yarcsin1x2

解：∵11x1 ∴x0,1，即定义域为0,1

∵11x0 ∴arcsin1x,0

∴y0,

即值域为0,；

222（4）yarcsinxarcsinx

121211x111112解：x,，即定义域为,

22221x112

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11∵y在,上单调递增

∴y,，即值域为,；

222222（5）yarcsinx3

解：∵0arcsinx32 ∴0x31

∴x3,4，定义域为3,4

∴y0,，即值域为0,；

22

课题练习

求下列函数的定义域和值域：

2（1）yarccos

x解：∵12x21 ∴x,22,，即定义域为,22,

x,，即值域为0,,；

2222∵1,00,1 ∴y0,（2）y1arccosx2x1

2解：∵1x2x11 ∴x0,1，即定义域为0,1

133令txx1x1,

2442233∴arccosarccostarccos1

∴arccosarccost

443311∴yarccos,，即值域为arccos,；

22422242（3）yarccos2sinx

22

∴xk,k，kZ，

sinx4422解：∵12sinx1 ∴即定义域为k

4,k4，kZ

∴y0,，即值域为0,；

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（4）yarccosx

解：∵0arccosx ∴x1,1，即定义域为1,1 ∴y0,，即值域为0,；

小结：

1. 反三角函数的概念；

2. 反三角函数的图像与性质。

课后思考题

求下列函数的定义域和值域：

（1）y1xarctan

22xx解：∵R ∴xR ∴arctan,

∴y,，即值域为,；

22224444（2）y1

arctanx2222,00, ∴y,,

即值域为,,；

22

2x11解：∵arctanx0 ∴x0，即定义域为,00,

∵arctanx（3）yarctan解：∵

∴11x21R ∴x1，即定义域为x/x1 ∵x211,00, y,0,，即值域为,0,；

∴.10,422422x21（4）yarctancosx

解：∵cosx0 ∴0cosx1 ∴x2k2,2k2，kZ，

即定义域为2k2,2kkZy0,0cosx1，

∵ ∴，即值域为

40,4；2

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