5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切优秀教学设计内容

课题:二倍角与半角的正弦、余弦和正切（1）

教师:冯淑平

班级：高一（9）班

日期：2018.3.13 [教学目标] 1.掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式，会运用这些公式进行计算和三角恒等变形。

2.通过对公式及其恒等变形的推导，掌握公式的来龙去脉，借助逻辑推理的过程强化对公式的自然记忆。

3.通过理解“二倍角”的实质及在不同的问题解决中选择合适的公式，体会二倍角公式学习中蕴含的辩证思维。

[重点、难点]

选择正确合适的公式或其恒等变形化简三角式、求某些三角比的值和证明恒等式。

[教学过程] 一．知识回顾

)

sin(-)

1. sin(

2．cos()

cos(-)

3．tan()

tan(-)

注意：（1）公式适用的角、的范围:公式1、2中、为任意角，公式3中、满足、、均不等于k（kZ)。

2

（2）公式的推导用到了构造法思想、代换的思想、切化弦的方法、诱导公式的应用。

)()]展开。

（3）角、可以是单角也可以是复角。如sin[(44二．二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导

令两角和的正弦、余弦和正切中的，得到二倍角正弦、余弦和正切公式:sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

tan22tan1ta2n(2、均不等于k2,kZ)

公式特征分析：

（1）描述的是角2和角的各三角比之间的关系，故取名“二倍角正弦、余弦和正切

公式”。

（2）二倍角公式是两角和与差公式的特例

（3）由于角可以取使关系式的两边都有意义的任意值，所以当取值则sin2sin2时，

2cos2；当取值4时，sin42sin2cos2，等等。

三．二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用（正用、逆用及变形）

52tan6

课堂练习：（1）求值：sincos；

cos275sin275；

512121ta2n612

（2）设，，sin，求sin2、cos2、tan2。

1322（3）已知cos2，且，，求cos。

32

（4）若0，，化简：1sin22(1cos2）

2

分析：（1）公式的逆用，抓住公式的特征，将繁化简。

（2）已知的三角比，可以求得2的三角比。

（3）已知2的三角比，可以求得的三角比，可将公式变形为：

s

co1co2s1cos2，sin（“”号由角的终边所在直角坐标中的象22sin1cos2得到，也可以通过解方程求得。）

cos1cos2限确定，tan可以通过

（4）常见的几种公式的变形：

1sin2(sincos)2，1cos22cos2，1cos22sin2。

四．二倍角的正弦、余弦、正切公式的拓展

1．提问：tan2sin22sincos2tan

可由弦化切（分子分母同除以cos2）

?222cos2cossin1tan2sincoscossin22

同理，sin22sincos

cos21tan21tan22tan1tan2，

。

公式特征分析：角2（k2，kZ)的所有三角比都可以用tan表示。（课堂练习（2）可以先求tan，然后直接用公式。）

2．由二倍角可以推导三倍角的正弦、余弦公式：

（1）试用cos表示cos3：

分析：32，先用两角和的余弦公式，然后用二倍角；若422.

（2）试用sin表示sin3:

五．总结：

1．理解二倍角的实质。

2．掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式以及简单应用（包括公式的逆用、常见的公式变形）

3．能了解每一组公式的特点，选择合适的公式解决求角问题。

六．课后综合练习：

1．求证：tantan2tan2

44分析：（1）从证明三角恒等式的常用思想方法出发，采用从繁到简的顺序。

（2）首先确定角如何变化：-、2或者（-）（）2。

4444（3）教材P63

方法一、方法二。

-2cos(2)2

方法三：tantan2cot(2)2tan2

244sin(2)22．化简：（1）

（2）

1sin2cos2

1sin2cos211113cos2(2)

222223．

若coscos2sink1，则k1的一个值为________；

k1sinsink2，则k2的一个值为________；

k2sin若coscos2cos4__(nN)。

由此猜想：coscos2cos4cos(2n)__________