3.1.2 导数的概念主要内容及教案内容

教学环节

创设情景

、

引入新课

教学内容

师生互动

设计思路

幻灯片



回顾上节课留下的思考题：

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在0t65这段时间里49的平均速度，并思考下面的问题：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

根据学生的认知水平,概念的形成分了两

个层次：



结合跳水问题，明确瞬时速度的定义

问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时

速度，如t=2时刻的瞬时速度？

问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算v值？

Δt

-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 ……….

初

步

探

索

、

展

示

内

涵

h(2t)h(2)的tv

….

Δt

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……. v

…

首先回顾上节课留下的引起学生的好奇，意识到平思考题：

均速度只能粗略地描述物在学生相互讨论，交流体在某段时间内的运动状结果的基础上，提出

：态，为了能更精确地刻画物大家得到运动员在这段体运动，我们有必要研究某时间内的平均速度为个时刻的速度即瞬时速度。

“0”，但我们知道运动

员在这段时间内并没有使学生带着问题走进课堂，“静止”。为什么会产生激发学生求知欲

这样的情况

呢？

提出问题一，组织学生讨论，引导他们自然地理解导数的内涵是本节课想到选取一个具体时刻的教学重难点，通过层层设如t=2，研究它附近的平疑，把学生推向问题的中均速度变化情况来寻找心，让学生动手操作，直观到问题的思路，使抽象感受来突出重点、突破难点

问题具体化

学生对概念的认知需要

借助大量的直观数据，帮助学生体会从平均速度所以我让学生利用计算出发，“以已知探求未知”器，分组完成问题二，

的数学思想方法, 培养学生

的动手操作能力

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问题三：当Δt趋于样的变化趋势？

Δt

v

-0.1 -12.61 -0.01 -13.051 -0.001 -13.0951 -0.0001 -13009951 -0.00001 -13.099951 ………. …. 0时，平均速度有怎一方面分组讨论，上台板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,

Δt

Δt趋于0时，平均速v

度趋于一个确定的值

0.1 -13.59 -13.1，即瞬时速度，第

0.01 -13.1一次体会逼近思想；另49 一方面借助动画多渠道

0.001 -13.1地引导学生观察、分析、049 比较、归纳，第二次体

0.0001 -13.1会逼近思想，为了表述0049 方便,数学中用简洁的符号来表示,即

0.00001 -13.10004h(2t)h(2)lim13.19 t0t

……. …

问题四：运动员在某个时刻t0的瞬时速度引导学生继续思考:运动员在某个时刻t0的如何表示呢？

瞬时速度如何表示? 学

生意识到将t0代替2,

可类比得到

h(t0t)h(t0)

lim

t0t



借助其它实例，抽象导数的概念

问题五：气球在体积v0时的瞬时膨胀率如类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示

数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美

与旧教材相比,这里不提及极限概念,而是通过形象生动的逼近思想来定义t0时刻的瞬时速度,更符合学生的认知规律,提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法

积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移,何表示呢？

寻找不同实际背景下的数r(vv)r(v0)

lim0

学共性，即对于不同实际问v0v题，瞬时变化率富于不同的实际意义

在前面两个问题的铺垫引导学生舍弃具体问题的问题六：如果将这两个变化率问题中的函下,进一步提出，我们这实际意义,抽象得到导数定由易到难、由数用f(x)来表示，那么函数f(x)在里研究的函数f(x)在义,由浅入深、xx0处的瞬时变化率如何呢？

xx0处的瞬时变化特殊到一般，帮助学生完成了思维的飞跃；同时提及导

率数产生的时代背景，让学生f(x0x)f(x0)f感受数学文化的熏陶，感受limlimx0x0xx数学来源于生活，又服务于即yf(x)在xx0生活。

处的导数,记作

f(x0x)f(x0)x0x(也可记为yxx)

f(x0)lim0第

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例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等

不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时候，原油温度（单位：c）

为f(x)x27x15(0x8)

步步设问，引导学生深（1）计算第2h和第6h时，原油温度的入探究导数内涵

瞬时变化率，并说明它的意义。

（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

步骤： ①启发学生根据导数定义，再分别求出f(2)和f(6)

循②既然我们得到了第2h和第6h的原油温序度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说渐明它的含义吗？

进③大家是否能用同样方法来解决问题、二？

延④师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢

伸

拓

变式练习：已知一个物体运动的位移（m）

发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以具体问题为载体,加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用

展

学生独立完成，上台板演，第三次体会逼近思（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度

想

与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t+5t2

目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律

（2）求物体在t时刻的瞬时速度

（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？

归纳总结

、

内化知识

作业安排、

1、瞬时速度的概念

2、导数的概念

3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般

引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，老师评析，并用幻灯片给出

让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯

（必做）第10页习题A组第2、3、4 题

（选做）：思考第11页习题B组第1题

作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足，同时注重个体差异，因材施教

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板书附后

设计

五、

学法与教法

板书设计清楚整洁,便于突出知识目标



学法与教学用具

学法：

（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。（如问题2的处理）

（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。（如问题3的处理）

（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。（如例题的处理）

教学用具：电脑、多媒体、计算器



教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。②导——教师指导、循序渐进

（1）

新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲

（2）

理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义

（3）

例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识

（4）

变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知

六、评价分析

这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。

从旧教材上看，导数概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解。

新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的逼近方法定义导数。

通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），学生容易理解；

这样定义导数的优点：

1．避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；

2．将更多精力放在导数本质的理解上；

3．学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义.

（附）板书设计

§1.1.2导数的概念

一、回顾上节课的思考题

二、瞬时速度的概念

三、导数的概念

四、归纳小结

五、作业安排

电脑投影屏幕

列表

例1

变式练习

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