习题2.4优质课教案

学 科:

高中数学

授课老师：

广州大同中学 陈雪玲 授课班级：

高二（1）班

课题名称：《运用变易图式，求曲线上的点到直线距离的最值》

教材分析：本节课涉及的内容有直线与圆，直线与圆锥曲线，甚至还有函数中的求导问题，是一节综合应用的课。是通过变易图式，引导学生探究曲线上的点到直线距离最值的解题方法。因此放在高二下学期讲授。

学情分析：本校生源为五组生源，总体水平并不高，但该班学生在本校是属于重点班，基础水平相对还是比较好的，可以接受这样的综合探究课。而且学生比较活跃，课堂上可以进行小组合作。

教学重点：会根据变易图式的设计，通过一步步改变曲线的方程来求相应的距离最值，从而得出解决这类问题的通法。

教学难点：圆锥曲线中的计算问题以及各个知识点的综合应用。

教学目标：

基础知识：会灵活运用点到线距离公式；会联立直线和圆锥曲线方程并正确消元；熟悉圆、椭圆，抛物线的参数方程；

基本技能：会求圆（椭圆、抛物线）上的点到直线的距离的最值，并根据曲线选择正确的方法；

基本思想：在学习中掌握数形结合和类比的思想，同时感受变易的思想，在变易图式的引导下进行变与不变的探究，得出解题的通法和特殊法；

基本活动经验：

能通过小组合作和类比，来获得解决曲线上的点到直线的特殊方法和通法，让相应知识体系化，网络化，特值化，便用学生灵活使用相应的方法解决问题； 发现和提出问题的能力：通过小组合作，同质互学，互质互问，在小组讨论中通过变易图式，利用知识的主要特征进行变易提出问题，让教学目标更加明确，教学重点突出，从变易中发现解题的规律及方法；

分析和解决问题的能力：小组合作中，找出知识的主要“特征”，通过变易图式，分析出不同的改变，可以增加或减少的方法，从而能找出不同问题的特殊解法和一般解题的通法。让学生在教学每个过程中不断渗透和强化分析问题和解决问题的能力；

教学方法：启发讨论式；

教学活动设计：

教学步骤

教师活动

一、复习引入

给出题目1：

求圆(x1)(y2)4上的点到直线l：xy50的距离的最大、最小值。

请用三种方法完成此题。

让学生板书展示自己的答案。

22学生活动

学生回顾直线与圆的位置关系，学生代表到黑板展示答案

方法A:利用圆的几何意义

圆上的点到直线距离的最大值

=圆心到直线距离+半径=|125|2422；

设计意图

从学生熟悉的直线与圆的位置关系入手，复习

圆上的点到直线距离的最值的三种常见方法，

目的是后面利用变易图式，

2圆上的点到直线距离的最小值

=圆心到直线距离-半径=|125|2422；

2方法B:数形结合法

1

设与l平行的直线l1:xym0，当直线l1与圆相切时，l与l1的距离就是所求的最值；

方法C:参数法

设圆的参数方程为x12cos，设圆上任一,(为参数）y22sin点为(12cos,22sin),点到直线距离d|12cos22sin5|

2探讨这三种方法能否用在椭圆、双曲线、抛物

线上。

|22cos(24)8|dmaxdmin|228|422

2|228|422

2二、探究

(1)给出变易图式1：

学生探讨，求解，并到黑板展示，教师巡堂，指导，引导学生完成。

方法A:因为是椭圆，显然不成立。

方法B:原理一样，数形结合法适用。(学生题目2：求椭圆x2y21上的展示）

42设l1:xym0与椭圆相切，联立方程点到直线l：xy50的距离的最大、最小值。

引导学生探究：

方法A：能否可行？若可行？如何解？

方法B：能否可行？若可行？如何解？

方法C：能否可行？若可行？如何解？

(2)引导学生探讨，展示

（3）教师小结：通过第1个变易图式，发现从圆变易到椭圆时，方法 A显然不可行；方法B因为根据切线的几何意义，这种方法仍然可行；方法C因为椭圆的参数方程要求掌握，学生比较熟悉，因此可以用椭圆的参数方程来解决。

把圆的方程改为椭圆方程，

让学生探究上面的三种方法是否可行，

通过变易组后得到：3x24mx2m240，

22

图式，进

16m12(2m4)0,得到m6，行方法的|65|52m6,dmax3;

22迁移探究。

m6,dmin|65|52223. 方法C：椭圆参数方程是我们熟悉而且要求掌握的，所以此方法可用。（学生展示）

设椭圆参数方程为x2cos

,为参数y2sin椭圆上任一点P设为(2cos,2sin),

点P到直线l的距离为d, d|2cos2sin5||6sin()5|225223,dmin5223dmax.

2

（4）给出变易图式2：

x2y2题目3：求椭圆1上42的点到直线2xy60的

情况与题目2一样，只要椭圆与直线相离，通过变易方法B,C均适用，而且方法C的参数法运图式，把

距离的最大、最小值。

算相对简单。

曲线方程解决方法与题目2方法是否由椭圆变

一致？

到双曲线，

（5）给出变易图式3：

再到抛物

线，目的

是让学生

给出题目4：求双曲线学生展示：

在变与不方法A:显然不可行

变中找出x2y21,(x0)上的点到直线解题的恒42方法B:可行。设l1:xym0,与双曲线xy50的距离的最小值。

常规律。

联立得到：x24mx2m240,

解决方法与题目2方法是否同时，让

由16m24(2m24)0,得一致？

学生提高小结：改为双曲线后只有方法m2，根据图象，得m2，

知识的综B仍可行。

合应用能|25|52. 所以dmin122（6）继续给出变易图式4：

力。

方法C:双曲线参数方程不要求，因此不采

用参数法。

题目5：求抛物线y2x2上

的点到直线l：xy50的

距离的最小值。

学生展示：

上述方法能否可行？若可方法A:不可行

行？如何解？

方法C：抛物线参数方程可设为xt。抛物线上任一点为,tR,t为参数2y2tP(t,2t2)，P到直线l距离为d, |t2t5|22|2(td1239)|48, 2

3

t1392

,dmin416三、推广

变易图式5：

题目6：求曲线ylnx上的点到直线xy50的距离的最小值。

分析：

把曲线方程改为非圆锥方程，

目的是为了强调方

法B数形

结合的思想，不要

局限在圆锥曲线中。

四、小结

回顾变易图式的变换过程，回顾曲线的变换过程中，方法的变与不变，在老师引导下，进行总结提升。

引导学生总结出主要曲线的特殊法和通法

分别给出三种曲线来巩固距离问题，

这三种都是非常常见的距离问题，其

中第3题

为高考题改编，具

有一定的技巧，层层递进，巩固本节课内容。

五、巩固与提升

学生独立完成，检验课堂效果

x2y21、求椭圆1上的点94到直线3x+4y-12=0的距离的最大值和最小值。

2、抛物线y24x上的点到直线2xy20的距离的最小值。

3、（12年全国高考卷第12题改编）设点P在曲线yex上，点Q在曲线ylnx上，则|PQ|的最小值为________

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