1.2.1 充分条件与必要条件教学实录及点评

【金版学案】2015-2016学年高中数学 1.2充分条件与必要条件学案

新人教A版选修1-1

►基础梳理

1．充分条件和必要条件．

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

2．充要条件．

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？

答案：对于集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，分别是使命题p和q为真命题的对象所组成的集合. ,►自测自评

1．已知集合A，B，则“A⊆B”是“A∩B＝A”的(C) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

2．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(C) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．

解析：由a＝2能得到(a－1)(a－2)＝0，但由(a－1)·(a－2)＝0得到a＝1或a＝2，

1

而不是a＝2，所以a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分不必要条件．

11．在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的(B) 2A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

1解析：当A＝170°时，sin 170°＝sin 10°<，所以“过不去”；但是在△ABC中，21sin A>⇒30°30°，即“回得来”．

222．(2014·湛江一模)“x>2”是“(x－1)>1”的(B) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

23．“b＝ac”是“ a，b，c成等比数列”的________条件．

2解析：因为当a＝b＝c＝0时，“b＝ac”成立，但是a，b，c不成等比数列；

2但是“a，b，c成等比数列”必定有“b＝ac”．

答案：必要不充分

24．求不等式ax＋2x＋1>0恒成立的充要条件．

解析：当a＝0时，2x＋1>0不恒成立．

2当a≠0时，ax＋2x＋1>0恒成立

a>0，⇔⇔a>1. Δ＝4－4a<02∴不等式ax＋2x＋1>0恒成立的充要条件是a>1. 225．已知p：x－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，q：2x－3x－2≥0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

x解析：令M＝{x|2－3x－2≥0}

＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}

1⇒x|x≤－或x≥2

22N＝{x|x－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}

＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}⇒{x|x≤a－2或x≥a}，已知q⇒p且p⇒/ q，得MN. 11a－2≥－，a－2>－，32或2⇔≤a<2或3

1．(2013·深圳二模)设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的(A) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

2

D．既不充分也不必要条件

2．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的(B) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

3．若等比数列{an}的公比为q，则“q>1”是“an＋1>an(n∈N)”的(D) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8，…公比为2，但不是增数1111列；②如数列：－1，－，－，－，…是增数列，但是公比为<1. 24824．(2013·东莞二模)已知p：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，q：a＝－1，则p是q的(A) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

5．已知直线a、b

和平面α，则a∥b的一个必要不充分条件是(D) A．a∥α，b∥α

B．a⊥α，b⊥α

C．a∥α，b⊂α

D．a、b与平面α成等角

226．圆x＋y＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是(B) A．k∈(－2，

2) B．k∈(－3，

3) C．k∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．k∈(－∞，－3)∪(3，＋∞) 22解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系．依题意知圆x＋y＝1与直线y＝kx＋22没有公共点⇔d＝>1⇔k∈(－3，3)．

21＋k2x7．已知命题p：不等式x＋1≤a的解集为∅，命题q：f(x)＝a(a>0且a≠1)是减函数，则p是q的____________________．

解析：命题p相当于命题：a<1，命题q相当于：0

答案：必要不充分条件

28．已知条件p：x＋x－2>0，条件q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

2解析：令A＝{x|x＋x－2>0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|x>a}，∵p是q的充分不必要条件，∴BA，∴a≥1. 答案：a≥1

9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；

(3)p：a

(2)充分不必要条件

3 ab

(3)既不充分也不必要条件

210．是否存在实数p，使4x＋p<0是x－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；如果不存在，请说明理由．

2解析：由x－x－2>0，解得x>2或x<－1，

令A＝{x|x>2或x<－1}，

由4x＋p<0，得B＝x|x<－. 4当B⊆A时，即－≤－1. 4即p≥4，

此时x<－≤－1⇒x－x－2>0，∴当p≥4时，4x＋p<0是x－x－2>0的充分条件．

4

x－12211．已知p：－2≤－1－≤2，q：x－2x＋1－m≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要3不充分条件，求实数m的取值范围．

分析：(1)用集合的观点考察问题，先写出綈p和綈q，然后，由綈q⇒綈p，但綈p⇒/綈q来求m的取值范围；

(2)将綈p是綈q的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件再求解．

22解析：方法一

由x－2x＋1－m≤0，

得1－m≤x≤1＋m，

∴綈q：A＝{x|x>1＋m，或x<1－m，m>0}．

x－1由－2≤1－≤2，得－2≤x≤10，

3∴綈p：B＝{x|x＞10，或x＜－2}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，结合数轴

ppp22∴Am>0，B⇔1－m≤－2，解得m≥9.

1＋m≥10.

方法二

∴綈p是綈q的必要不充分条件，

∴綈q⇒綈p，且綈p⇒/ 綈q. ∴p⇒q，且q⇒/ p，即p是q的充分不必要条件．

结合数轴

∵p：C＝{x|－2≤x≤10}，

q：D＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0} 1＋m≥10，∴CD，∴∴m≥9. 1－m≤－2，所以实数m的取值范围是{m|m≥9}．

212．求证：关于x的一元二次不等式ax－ax＋1>0对于一切实数x都成立的充要条件是00(a≠0)恒成立

a>0，⇔⇔0

1．(2014·安徽卷)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(B) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

4

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由ln(x＋1)<0得－1

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B⇔sin A≤sin B. 3．(2014·浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(A) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

224．(2014·北京卷)设a、b是实数，则“a>b”是“a>b”的(D) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

5．(2013·福建卷)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(A) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若x＝2且y＝－1，则x＋y－1＝0；反之，若x＋y－1＝0，x，y有无数组解，如x＝3，y＝－2等，不一定有x＝2且y＝－1，故选A. 126．设x∈R，则“x>”是“2x＋x－1>0”的(A) 2A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

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