1.2.1 充要条件含PPT的教学设计及点评

选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG §1.2.1 充分条件与必要条件

【学习目的】

1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义. 2.会判断某些条件之间的关系．

【要点梳理】

充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

“若p，则q”是真命题

p _

q p是q的

___

条件

q是p的

___

条件

“若p，则q”是假命题

p

_ q

p不是q的

___

条件

q不是p的

___

条件

【特别提醒】

从命题的真假、推出关系、集合间的包含关系多角度理解充分条件、必要条件，使思维活动更加严谨．

◇课内探究◇

问题探究一

充分条件、必要条件

问题1

判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)(2)中条件和结论之间的关系：

(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；

(2)若ab＝0，则a＝0. 答案

(1)为真命题，(2)为假命题．

命题(1)中，有x>a2＋b2，必有x>2ab；(2)中ab＝0，不一定a＝0，可能b＝0. 结论：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

问题2

结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解．

答案

充分条件是使某一结论成立应该具备的条件，当具备此条件就可得此结论．或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了．

必要条件可从命题等价性理解：p⇒q等价于¬q⇒¬p，q是p的必要条件意味着若q不成立，则p不成立，即q是p成立的必不可少的条件．

问题3

判断命题“若x＝1，则

x2－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释．

答案

“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的充分条件，“x2－4x＋3＝0”是“x＝1”的必要条件．

两个条件“x＝1”和“x2－4x＋3＝0”都是变量的取值，和集合有关．将“x＝1”对应集合记作A，“x2－4x＋3＝0”对应集合记作B.显然AB. 问题4

结合以上分析，请你归纳判断充分条件、必要条件有哪些方法？

答案

一般地，关于充分、必要条件的判断主要有以下几种方法：

(1)定义法：直接利用定义进行判断．

(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．这里要注意“原命题⇔逆否命题”、“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法．

(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p既是q的充分条件，又是q的必要条件．

例1

指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)? (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；

(2) p：x >1, q：x2>1; (3)p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.

解

(1)∵p⇒q，而q

p，∴p是q的充分不必要条件．

2)p对应的集合为P={x|x>1}，q对应的集合为Q={x|x<-1或x>1},∵PQ，∴p是q的充分不必要条件. (3) ¬p：x＝0且y＝0，¬q：x＋y＝0，∵¬p⇒¬q，而¬q

¬p，∴p⇐q且p

q，∴p是q的必要不充分条件．

第

1 页

共

5 页

选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG 小结

本例三个小题分别体现了定义法、集合法、等价法．一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题．

跟踪训练1

指出下列命题中，p是q的什么条件？

(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；

(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；

(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(4)p：sin α>sin β，q：α>β. 解

(1)∵x2＝2x＋1

x＝2x＋1，

x＝2x＋1⇒x2＝2x＋1，

∴p是q的必要不充分条件．

(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝x－1成立，反过来，当x－1＝x－1成立时，可以推出x＝1或x＝2，

∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．

(4)由sin α>sin β不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出

sin α>sin β，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．

问题探究二

利用充分条件、必要条件求参数范围

问题1

根据集合间的关系可以判定充分条件、必要条件；反之，如果已知两条件间的关系，请你考虑两条件对应集合之间的关系，并举例说明．

答案

设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则AB，

如：x＝2是x2＝4的充分不必要条件，

则{x|x＝2}{x|x2＝4}．

问题2

若x0的充分不必要条件，求参数的范围，并请你总结问题中的思想方法．

答案

由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，

由已知条件，知{x|x2或x<1}．

∴m≤1，故参数m的范围是{m|m≤1}．

利用充分条件和必要条件可以推知集合间的包含关系，然后利用数轴或其他工具可以求得参数的范围，利用了转化思想和数形结合思想．

例2

是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．

解

由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1，

令A＝{x|x>2或x<－1}，

p由4x＋p<0，得B＝x|x<－4，

p当B⊆A时，即－≤－1，即p≥4，

4p此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，

4∴当p≥4时，4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件．

小结

利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．

跟踪训练2

已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．

m解

由3x＋m<0得，x<－. 3m∴p：A＝{x|x<－}．

32由x－2x－3>0得，x<－1或x>3. ∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．

m∵p⇒q而q

p，∴AB，∴－≤－1，

3∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．

◆课堂练习

第

2 页

共

5 页

选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG 1．“－21或x<－1”的

(

C

) A．充分条件但不是必要条件

B．必要条件但不是充分条件

C．既不是充分条件，也不是必要条件

D．既是充分条件，也是必要条件

解析

∵－2

x>1或x<－1且x>1或x<－1

－2

∴“－21或x<－1”的充分条件，也不是必要条件．

2．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”

的

(

C

) A．充分条件但不是必要条件

B．必要条件但不是充分条件

C．既是充分条件，也是必要条件

D．既不是充分条件，也不是必要条件

a≠0，解析

ab≠0，即，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相b≠0交时，a≠0且b≠0，故选C. 3．0

(

A

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既是充分条件也是必要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

解析

∵|x－2|<4⇔－2

∴0

0

故0

4．给出下列命题：

①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；

②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；

③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；

④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件. 其中真命题的序号是________. ．解析：对于①,当数列{an}为等比数列时, 易知数列{anan＋1}是等比数列; 但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列,如数列1, 3, 2, 6, 4, 12, 8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；

对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；

对于③，当m＝3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；

bsin B1对于④，由题意得＝＝3，若B＝60°，则sin A＝，注意到b>a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，asin A2有sin B＝3，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确. 2

◆课堂小结

1．充分条件、必要条件的概念．

2．充分条件、必要条件的判定有三种方法：①定义法；②集合法；③等价命题法．

第

3 页

共

5 页

选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG 3．利用充分条件、必要条件可以解决一些参数的范围问题．

◇课后作业◇

1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的

(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既是充分条件又是必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．a<0，b<0的一个必要条件为

(

) A．a＋b<0

B．a－b>0 aaC.>1

D.<－1 bb3．“a>0”是“|a|>0”的

(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既是充分条件，又是必要条件

D．既不充分也不必要条件

4．设集合M＝{x|0

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分条件且是必要条件

D．既不充分也不必要条件

15．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的

(

) 4A．充分非必要条件

B．充分条件且是必要条件

C．必要非充分条件

D．非充分非必要条件

6．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分条件且是必要条件

D．既不充分也不必要条件

二、填空题

7．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2

8．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的__________条件．

9．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则对于下列条件：

①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；

③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；④n⊥α，n⊥β，m⊥α. 其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．

三、解答题

10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：

第

4 页

共

5 页

选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG (1)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；

(2)p：四边形的对角线互相平分；q：四边形是矩形．

(3)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；

(4)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(5)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；

(6)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，

q：(x－1)(y－2)＝0. a11.已知a、b为不等于0的实数，判断“>1”是“a>b”的什么条件？

b12．若p：－2

四、探究与拓展

13．对于实数x，y，判断“x＋y≠8”是“x≠2，或y≠6”的什么条件？

答案

1．B

2.A

3.A

4.B

5.A

6.C 7．a>2

8.充分不必要

9．②④

10．(1)p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

(2)p是q的必要条件，但不是充分条件

（3）充要条件

（4）充分不必要条件

（5）必要不充分条件

（6）充分不必要条件

11．“ab>1”既不是“a>b”的充分条件，也不是“a>b”的必要条件

12．p是q的必要不充分条件

13．解

可从集合角度判断，考虑集合A＝{(x，y)|x＋y≠8}，与B＝{(x，或y≠6}的包含关系，A是平面直角坐标系内除去直线y＝－x＋8上所集合；B＝{(x，y)|x≠2}∪{(x，y)|y≠6}是直角坐标平面上除去直线x＝有点或除去直线y＝6上的所有点的集合，即除点(2,6)的所有点的集所示，知AB，所以“x＋y≠8”是“x≠2，或y≠6”的充分不必要条(本题也可利用等价命题法进行判定)

第

5 页

共

5 页

y)|x≠2，有点的2上的所合．如图件．