3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示名师教学设计1

３.1.４空间向量的正交分解及其坐标表示（1课时）

【学习目标】

1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；

2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；

【学习重点】

1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；

2. 空间向量坐标表示及其运算

【方法指导】

建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形

【自主学习】

（预习教材P92-96找出疑惑之处）

复***面向量基本定理：

对平面上的任意一个向量P，a,b是平面上两个

向量，总

是存在

实数对x,y，使得向量P可以用a,b来表示，表达式为

，其中a,b叫做

. 若ab，则称向量P正交分解.

复***面向量的坐标表示：

平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的

向量

，则称有序i,j作为基底，对平面上任意向量a，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，对x,y

为向量a的

，即a＝

. 【合作探究】

探究任务：空间向量的正交分解

问题：对空间的任意向量a，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？

新知：

⑴

空间向量的正交分解：空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量1a1、2a2、3a3，使a1a12a23a3. 如果a1,a2,a3两两

，这种分解就是空间向量的正交分解.

(2)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c

，

对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得pxaybzc. 把

的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

反思：空间任意一个向量的基底有

个.

⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相

，长度都为

，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示. ⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为

x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x,y,z}，使得axiyjzk，则称有序实数组{x,y,z}为向量a的坐标，记着p

.

⑸设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝

.

⑹向量的直角坐标运算：

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；

⑷a·b＝a1b1a2b2a3b3. 试试：

1. 设a2ij3k，则向量a的坐标为

. 2. 若A(1,0,2)，B(3,1,1)，则AB＝

. 3. 已知a＝(2,3,5)，b＝(3,1,4)，求a＋b，a－b，8a，a·b

【拓展延伸】

例1

已知向量a,b,c是空间的一个基底，从向量a,b,c中选哪一个向量，一定可以与向量pab,

qab构成空间的另一个基底？

变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？

小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.

例2

如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用OA,OB,OC

表示OP和OQ.

变式：已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，点G 是侧面BB'C'C的中心，且OAa，OCb,OO'c，试用向量a,b,c表示下列向量: ⑴OB',BA',CA';

⑵

OG.

【当堂检测】

1. 若a,b,c为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（

）

A.a,ab,ab

B. b,ab,ab

C. c,ab,ab

D. a2b,ab,ab

2. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且ABijk，则点B的坐标是

3. 在三棱锥OABC中，G是ABC的重心（三条中线的交点），选取OA,OB,OC为基底，试用基底表示OG＝

4. 正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为2，以A为坐标原点，以AB,AD,AA'为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是

. 5. 已知关于x的方程x2t2xt23t50有两个实根，catb，且a1,1,b3,1,0,

2，当t＝

时，c的模取得最大值.