1.3.1 且（and）名师教学视频（文字实录）

1.3.1

且

(and) 1.3.2

或

(or) 学习目标

1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假.

知识点一

“且”

思考

观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义. 答案

命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替. 梳理

(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题. 我们将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：

p 真

真

假

假

命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”.

q 真

假

真

假

p∧q

真

假

假

假

(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足. (3)我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假.

知识点二

“或”

思考

观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解. 答案

命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题. “或”从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}.“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q，

即两者中至少要有一个. 梳理

(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.

(2)判断用“或”联结的命题的真假：当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题. 我们将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：

p 真

真

假

假

命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.

(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x∉B，也可以是x∉A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B. (4)我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假. q 真

假

真

假

p∨q

真

真

真

假

类型一

含有“且”“或”命题的构成

命题角度1

简单命题与复合命题的区分

例1

指出下列命题的形式及构成它的命题. (1)向量既有大小又有方向；

(2)矩形有外接圆或有内切圆；

(3)2≥2. 解

(1)是p∧q形式命题. 其中p：向量有大小，q：向量有方向. (2)是p∨q形式命题. 其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆. (3)是p∨q形式命题. 其中p：2>2，q：2＝2. 反思与感悟

不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题. 判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题. 跟踪训练1

命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题. 答案

p∧q

命题角度2

用逻辑联结词构造新命题

例2

分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题. (1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；

(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解. 解

(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等. p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等. (2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解. p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解. 反思与感悟

用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，

可以把p，q中的条件或结论合并. 跟踪训练2

指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q. (1)0≤2；

(2)30是5的倍数，也是6的倍数. 解

(1)此命题为“p∨q”形式的命题，其中

p：0<2；q：0＝2. (2)此命题为“p∧q”形式的命题，其中

p：30是5的倍数；

q：30是6的倍数. 类型二

“p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断

例3

分别指出“p∨q”“p∧q”的真假. (1)p：函数y＝sin x是奇函数；q：函数y＝sin x在R上单调递增；

1(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝与圆x2＋y2＝1相交. 2解

(1)∵p真，q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假. (2)∵p真，q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真. 反思与感悟

形如p∨q，p∧q，命题的真假根据真值表判定.如：

p 真

真

假

假

跟踪训练3

分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假. (1)p：3是无理数，q：π不是无理数；

(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；

(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根. 解

(1)∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假. (2)∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真. (3)∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假. 类型三

已知复合命题的真假求参数范围

1例4

设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；命题q：关于x的不等式3x－9x

q 真

假

真

假

p∧q 真

假

假

假

p∨q

真

真

真

假

(2)如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围. 解

(1)若命题p为真命题，

1则ax2－x＋a>0对x∈R恒成立. 16当a＝0时，－x>0，不合题意；

a>0，当a≠0时，可得即12Δ<01－a<0，

a>0，4

∴a>2. 11(2)令y＝3x－9x＝－(3x－)2＋. 24由x>0，得3x>1，∴y＝3x－9x的值域为(－∞，0). 若命题q为真命题，则a≥0. 由命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，得命题p，q一真一假. 当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤2. ∴满足条件的a的取值范围是{a|0≤a≤2}. 反思与感悟

解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想. 跟踪训练4

已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围. 解

对于命题p：由a2x2＋ax－2＝0，

得(ax＋2)(ax－1)＝0，

21显然a≠0，∴x＝－或x＝，

aa21∵x∈[－1，1]，故|－|≤1或||≤1，即|a|≥1. aa∴p为假时得|a|<1. 对于命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，

即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，

由Δ＝4a2－8a＝0，得a＝0或a＝2. ∴q为假时得a≠0且a≠2. 又命题“p或q”为假，即p与q都为假命题，

∴a的取值范围是(－1，0)∪(0，1).

1.已知命题p、q，若p为真命题，则(

)

A.p∧q必为真

C.p∨q必为真

答案

C B.p∧q必为假

D.p∨q必为假

解析

p∨q，见真则真，故必有p∨q为真. 2.命题“xy≠0”是指(

) A.x≠0且y≠0

C.x、y至少有一个不为0

答案

A 解析

满足xy≠0，即x，y两个都不为0，故选A. π3.已知p：函数y＝sin x的最小正周期为，q：函数y＝sin 2x的图象关于直线x＝π对称，则2p∧q是________命题.(填“真”或“假”) 答案

假

解析

据题命题p为假命题，命题q也是假命题，故p∧q是假命题. 4.已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1，2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________. 1答案

[－2，) 21解析

命题p：由函数f(x)在R上为减函数得2a－1<0，解得a<，

2命题q：由函数g(x)＝x2＋ax在[1，2]上是增函数，

a得－≤1，解得a≥－2. 211由p∧q为真得p、q都为真，故a的取值范围为(－∞，)∩[－2，＋∞)，即为[－2，). 225.已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围. 解

若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4. 设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图象开口向上，

若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3. 由p∧q为假，p∨q为真，得p假q真或p真q假. 若p假q真，则m<－3且m≠－4；

若p真q假，则m无解. 所以m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3).

1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论. B.x≠0或y≠0 D.不都是0

2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假.(1)“p∧q”形式的命题简记为：同真则真，一假则假；(2)“p∨q”形式的命题简记为：同假则假，一真则真.

40分钟课时作业

一、选择题

1.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

答案

A 解析

p∧q是真命题⇒p是真命题，且q是真命题⇒p∨q是真命题；p∨q是真命题⇏p∧q是真命题. 2.p：方程x2＋2x＋a＝0有实数根，q：函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是(

) A.a>0

B.a≥0

C.a>1

D.a≥1 答案

B 解析

∵方程x2＋2x＋a＝0有实数根，

∴Δ＝4－4a≥0，解得a≤1. ∵函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，

∴a2－a>0，解得a<0或a>1. ∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，

∴p，q中一真一假. ①当p真q假时，得0≤a≤1；

②当p假q真时，得a>1. 由①②得，所求a的取值范围是a≥0. 3.命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则(

) A.p真q假

C.p∨q为假

答案

D 解析

命题p假，命题q真. B.p∧q为真

D.p假q真

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

4.命题p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是(

) A.(0，－3)

C.(1，－1)

答案

C y＝2x－3，解析

点(x，y)满足

2y＝－x，B.(1，2) D.(－1，1)

解得P(1，－1)或P(－3，－9)，故选C. ππ5.设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对22称.则下列判断正确的是(

) A.p为真

C.p且q为假

答案

C 解析

利用含逻辑联结词命题的真值表求解. p是假命题，q是假命题，因此只有C正确. 6.给出下列命题：

①2>1或1>3；

②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；

③25是6或5的倍数；

④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集. 其中真命题的个数为(

) A.1

B.2

C.3

D.4 答案

D 解析

①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；

②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；

③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；

④由于A∩B⊆A，A∩B⊆A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题. 二、填空题

7.命题“相似三角形的面积或周长相等”为________命题.(填“真”或“假”) 答案

假

解析

该命题是由命题p：“相似三角形的面积相等”和命题q：“相似三角形的周长相等”用逻辑联结词“或”联结构成的新命题. B.q为真

D.p或q为真

因为p是假命题，q也是假命题，所以p∨q是假命题. 8.若命题p∨q为假命题，则命题“p∧q”是________命题.(填“真”或“假”) 答案

假

解析

因为p∨q为假命题，所以p，q都是假命题，

故p∧q必为假命题. 9.已知p：x2－2x－3<0；q：答案

(－1，2) 解析

当p为真命题时，x2－2x－3<0，则－1

当q为真命题时，x－2<0，则x<2. 当p且q为真命题时，p和q均为真命题，

从而－11的解集是{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p和q有且仅有一个为真，则a的取值范围为______________. 1答案

(0，]∪[1，＋∞) 2解析

若p真，则0

若p假，则a≥1或a≤0. a>0，1若q真，有⇒a>. 22Δ＝1－4a<01<0，若p且q为真，则x的取值范围是________. x－2

1若q假，则a≤，

2又p和q有且仅有一个为真，

1∴当p真q假时，0

2当p假q真时，a≥1，

1综上所述，a∈(0，]∪[1，＋∞). 2三、解答题

11.判断下列复合命题的真假. (1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；

(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅. 解

(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题. (2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不

等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题. 12.设p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；q：设a＝(2x2＋x，－1)，b＝(1，ax＋2)，不等式a·b>0对任意x∈(－∞，－1)恒成立.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围. 解

若p为真命题，则ax2－4x＋a>0对x∈R都成立，

a>0，则(－4)－4a<0且a>0，即解得a>2. 216－4a<0，22

若q为真命题，则由a·b>0对任意x∈(－∞，－1)恒成立，

22知2x2＋x－(ax＋2)>0，即a>2x－＋1对任意x∈(－∞，－1)恒成立，则a>(2x－＋1)max. xx2令f(x)＝2x－＋1，可知f(x)在(－∞，－1)上是增函数，当x＝－1时取得最大值，ymax＝1. x故a≥1. 又p∨q为真命题，p∧q为假命题，则等价于p，q中一个为真命题，另一个为假命题. a>2，若p真q假，则无解；

a<1，a≤2，若p假q真，则则1≤a≤2. a≥1，

综上，实数a的取值范围为[1，2].

111，2时，函数f(x)＝x＋>恒13.已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当x∈2xc成立.如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围. 解

由命题p为真知，0

15由命题q为真知，2≤x＋≤，

x211要使此式恒成立，需<2，即c>，

c2若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

则p、q中必有一真一假，

1当p真q假时，c的取值范围是0

2当p假q真时，c的取值范围是c≥1. 1综上可知，c的取值范围是0