6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质教学内容

6.3函数yAsinx的图像与性质（2）

一、教学内容分析 “函数yAsinx的图像与性质（2）”是继学生学习了函数yAsinx的图像与性质等知识之后的一节重要内容，既是本章的重点又是本章的难点。

它是三角函数研究的继续与完善，是进一步学习物理学中的振动和波、交流电等实际问题的重要工具，更是高中数学的一个重要知识的点。本节课的信息量大、内容抽象、图形变化复杂，学生较难理解。又涉及到数形结合与分类讨论等数学思想，对学生的逻辑思维能力养成和创新意识的训练有积极的作用。

二、教学目标设计

1、学会灵活运用“五点法”画函数yAsinx的图像，掌握函数yAsinx的图像与性质．。

2、掌握用图像变换的方法画函数yAsinx的图像

3、会求一些函数的周期、振幅、最值和值域及单调区间．

4、体验用科学的方法和观点来探索和分析问题，养成应用数形结合、分类讨论等数学思想分析问题、解决问题的能力，提高创新意识和创造能力．

三、教学重点及难点

函数函数yAsinx的图像与性质；

yAsinx的图像的变换顺序。

四、教学用具准备

多媒体设备

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、复习引入

1．函数y=Asinx，xR(A>0且A1)的图像与函数y=sinx，xR的图像关系？

函数y=Asinx，xR(A>0且A1)的图像可以看作把函数y=sinx，xR的图像上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

应用举例：求一些函数的周期、振幅、最值和值域及单调区间

归纳总结函数yAsin(x)A0,0的图像与函数函数ysin(x复习函数yAsinx的图像与函数ysinx的图像的关系

3)、函数y3sin(2x3)

ysin(x)的图像4与函数ysinx的图像的关系

的图像与函数ysinx

的图像的关系

ysinx的图像的变换规律；定义振幅、频率和初相

值是-A．若A<0 可先作y=-Asinx的图象

，再以x轴为对称轴翻折。

2．函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图像与函数y=sinx，xR的图像关系？

函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图像，可看作把函数y=sinx，xR的图像上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的符号“提出”再作图ω决定了函数的周期

3、讨论函数y＝sin(x＋)的图像与函数y=sinx的图像又是怎样的关系呢？

二、学习新课

1倍（纵坐标不变）．若ω<0则可用诱导公式将引例1画出函数ysinx,ysinx的图像

34解：列表

x -

30 0 

3sin(x+) 3x+描点画图：



6

21 2

3

0 7

63

2–1 5

32

0 x 

40 0 3

45

4

4sin(x–) 4x－通过比较，发现：



21 

0 7

43

2–1 9

42

0

(1)函数y＝sin(x＋长度而得到

(2)函数y＝sin(x－度而得到

一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图像，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”) [说明]：y＝sin(x＋)与y＝sinx的图像只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换

引例2画出函数y＝3sin(2x＋解：(五点法)由T＝)的图像可看作把y=sinx图像上所有的点向左平行移动个单位33)的图像可看作把y=sinx图像上所有点向右平行移动个单位长44)的图像

3x 2x+

33sin(2x+) 3描点画图：

2，得T＝π 列表：

2–

126

0 20 3 

3π

0 7

123

2–3 5

62π

0

这种曲线也可由图像变换得到：

左移个单位

即：y＝sinx y＝sin(x＋) 33

纵坐标不变

横坐标变为1倍

2y＝sin(2x＋一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图像，可以看作用下面的方法得到：

先把正弦曲线上所有的点向左(当纵坐标变为33sin(2倍

) y＝x＋) 33横坐标不变

＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变) 另外，注意一些物理量的概念: A

：称为振幅；T＝21：称为周期；f＝：称为频率；

Tωx＋：称为相位,x＝0时的相位称为初相

[说明]：由y＝sinx的图像变换出y＝sin(ωx＋)的图像一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图像向左(＞0)或向右(＜0)平移｜｜个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图像

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换

先将y＝sinx的图像上各点的横坐标变为原来的向右（＜0）平移

三、例题分析

例1：已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)其中｜｜＜1倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图像

的图像，那么

2

Aω＝1010，＝ Bω＝，＝－

111166 Dω＝2，＝－

6611解：由图可知，点(0，1)和点(，0)都是图像上12的点将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sin＝Cω＝2，＝1，又｜｜＜，∴＝

22611又由“五点法”作图可知，点(，0)是“第五点”，所1211以ωx＋＝2π，即ω·π＋＝2π，解之得ω＝2，故选C 1261，即sin＝[说明]：解此题时，若能充分利用图像与函数式之间的联系，则也可用排除法来巧妙求解.

解：观察各选择答案可知，应有ω＞0 2＜2π，∴ω＞1 ，故可排除A与B 由图像还可看出，函数y＝2sin(ωx＋)的图像是由函数y＝2sinωx的图像向左移而得观察图像可看出，应有T＝到的 ∴＞0，又可排除D，故选C 例2已知函数y＝Asin(ωx＋)在同一周期内，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( ) 4时函数取得最大值2，当x＝99) By＝2sin(3x＋) 66xxCy＝2sin(＋) Dy＝2sin(－) 3636Ay＝2sin(3x－解：由题设可知，所求函数的图像如图所示，点((，2)和点94，－2)都是图像上的点，且由“五点法”作图可知，这两点9分别是“第二点”和“第四点”，所以应有：

3912解得 答案：B 43692[说明]：由y＝Asin(ωx＋)的图像求其函数式：

一般来说，在这类由图像求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、不加限制(如

A、ω的正负，角的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中

四、巩固练习

《课本》P102-103 2,3,4 P105 1,2,3

五、课堂小结

本节课主要研究了由y＝sinx的图像变换出y＝sin(ωx＋)的图像的过程中的平移变换，及三个变换相互关系，它们的规律可概括如下：

作y=sinx（长度为2的某闭区间）沿x轴平

移|φ|个单位

得y=sin(x+) 横坐标伸

长或缩短

得y=sin(ωx+) 纵坐标伸

长或缩短

横坐标

伸长或缩短

得y=sinωx 沿x轴平

移||个单位

得y=sin(ωx+φ) 纵坐标伸

长或缩短

得y=Asin(ωx+)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上

两种方法殊途同归

1ysinx相位变换ysinx周期变换ysinx

振幅变换yAsinx2ysinx周期变换ysinx相位变换ysinx

振幅变换yAsinx

六、作业布置

七、教学设计说明

本节课是在上节课学习了三角函数的伸缩变换（周期变换与振幅变换）基础上，利用“五点法”画图法进一步学***移变化的规律和三种变换的相互联系。采用多媒体进行直观教学，通过演示图形的动态变化，引导学生利用已学过的知识去主动探索，通过对图形观察、分析、类比、归纳得出函数y＝sin(ωx＋)图象及性质及变换规律。 本节课对课本的例题进行了变式并作了方法指导，课堂练习设计了以课本为主的分层次的能力训练题，以满足不同层次学生的需求，进而实现对学生的基础性学力、发展性学力和创造性学力的培养。