5.1 任意角及其度量教案（名师）

§5.1 任意角及其度量(Any Angel and Its Measures) (1)

任意角

课程标准：

通过一条射线绕着它的端点旋转，给出角的概念，使学生了解角的形成过程，然后推广到任意角。

理解任意角中正角和负角是具有相反意义的量，它的正、负是为了区分其旋转方向而规定的。

理解任意角、象限角、终边相同的角等概念。能准确判断它们的角的终边在平面直角坐标系中的位置。

学生状况分析：

学生在初中阶段已接触了角的两种定义、0~360的角。

参考资料：上海教育资源网 

教学目标：

1．知识与技能：（1）懂得以运动的观点观察角的形成过程，知道实际生活 中存在超出0~360的角。

（2）理解任意角和象限角的概念，会判断一个角所在象限。

（3）掌握终边重合的角的一般形式与集合表示法。

2．过程与方法：（1）通过创设情境引入正角、负角和零角的概念；角的概念

得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边重合的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有重合终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固概念。

3．情感态度与价值观：（1）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。

教学重点：（1）任意角的概念、掌握终边重合角的表示方法

教学难点：（1）终边重合的角的一般形式与集合表示法



教学过程设计：

一、复习引入

回顾：初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？

角的定义1：

角是有公共端点的两条射线组成的图形，

它的范围是0~360。

B



角的定义2：角可以看成平面内一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。

O A 如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角AOB。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫做终边，射线的端点O叫做角的顶点。

角的表示： AOB,简记为：

二、学习新课

思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了2.5小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

讨论总结：通过实际操作我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上。如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周）等，都是遇到大于360的角以及按不同方向旋转而成的角。同学们思考一下：能否再举出几个现实生活中“大于360的角或按不同方向旋转而成的角”的例子，这些说明了什么问题？又该如何区分和表示这些角呢？



如汽车前进或倒退时车轮的旋转、螺丝扳手等按不同方向旋转时所成的不同的角，就是说角不仅仅局限于0~360之间，这说明了我们研究推广角的概念的必要性，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角。



1．任意角

为了区别按不同方向旋转而成的角，

规定：一条射线按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle) 一条射线按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle) 一条射线没有旋转时我们称它形成了一个零角(zero angle)，记作0

（结合手表调整时间，对概念进行演示说明：

慢了5分钟，30；快了2.5小时，900）

初中我们学过的角都是小于或等于360的非负角，现在角的概念这样推广以后，它包括了任意大小的正角、负角和零角。

例1：判断下列命题的真假并说明理由

(1) 零角的始边与终边重合

(2) 始边与终边重合的角是零角

解：(1)为真命题；(2)为假命题，反例360等。

例2：经过下列时间，时钟的分针和时针各转多少度？

（1）2小时 （2）1.5小时

解：（1）分针：720 时针：60

（2）分针：540 时针：45

[说明] 确定一个角的大小不仅要看始边、终边的位置，更要看角形成的过程

为了便于在今后研究三角比，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。



2．

象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限。

例如教材图5-3(1)中的60角、420角都是第一象限的角，（2）中135角、225角都是第二象限角。

特别规定：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

注：本书中提到的角，若不特别声明，总是指角的顶点与原点重合，角的始边

与x轴的正半轴重合。

例3：回答下列问题

(1) 锐角是第几象限角? (2) 第一象限的角一定是锐角吗? (3) 小于90的角一定是锐角吗?

解：(1)第一象限； (2)不一定，反例361；

(3)不一定，反例零角或负角。

[说明]：还可变式为直角、钝角提出相关问题。

3．

终边相同的角

问：教材图5-3(1)中的60角、420角，这两个角有什么公共特点？

答：它们终边相同。

问：除了这两个角之外，还存在其他的角也与它们拥有相同的终边吗？有多少个？答：有；无数多个。

与它们终边相同的这无数多个角是怎样形成的？以60角，420角为例：420角就是在60角基础上再逆时针旋转一周，它的终边与60角的终边相同。（可适当再举一些例子，其中包括顺时针旋转得到的角）照此看来与60角终边重合的这无数个角就是在60角的基础上顺时针或逆时针旋转若干周之后得到的。

将角按两大要求放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应；反之，对于直角坐标系中任意一条射线，以它为终边的角不唯一。

|k36060,kZ. 我们可以用集合表示所有与60角终边相同的角

 当k0时，60，集合中也包括了60本身

一般地,我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合|k36060,kZ,即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

角与角k360是终边相同的角，需要明确三点：



1）kZ

2）是任意大小的角

3）终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360的整数倍

例4：在0~360的范围内，求终边在y轴上的角组成的集合

答：90,270



变式：写出终边在分析：(1) 终边在y轴正半轴上的角|k36090,kZ

(2) 终边在y轴负半轴上的角|k360270,kZ

k360902k18090k3602702k118090

答：|k18090,kZ

再变式：写出终边在x轴上的角所组成的集合

答：|k180,kZ

继续变式：写出终边在坐标轴上的角所组成的集合. y轴上的角所组成的集合

答：|k90,kZ



例5：写出终边在第一象限的角所组成的集合

答：|k360k36090,kZ

变式：写出终边在第二象限的角所组成的集合

答：|k36090k360180,kZ写出终边在第三象限的角所组成的集合





答：|k360180k360270,kZ写出终边在第四象限的角所组成的集合

答：|k360270k360360,kZ

或

|k36090k360,kZ

（误区：|k360270k360,kZ）



三、作业布置

1、

练习册

四、课后反思