习题2.3名师教学实录

圆锥曲线方程及性质

1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的教作用；

学2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方目程、几何图形及简单性质；

标

3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。

本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试命题走向

题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本

方法。

对于本讲内容来讲，预测2013年：

（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；

（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

教学多媒体课件

准备

1

要点精讲

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF。

1||MF2|2ax2y2y2x2椭圆的标准方程为：221（ab0）（焦点在x轴上）或221abab（ab0）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中a,b的大小ab0，其中cab；

教学过程

圆。

（2）椭圆的性质

222x2y2y2x2②在221和221两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点ababx2y21（m0，n0，的位置，只要看x和y的分母的大小。例如椭圆mn22

mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭x2y2①范围：由标准方程221知|x|a，|y|b，说明椭圆位于直线abxa，yb所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

2

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x0，得yb，则B1(0,b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa，即A1(a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOB2F2中，|OB2|b，|OF2|c，|B2F2|a，且|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即c2a2c2；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比ec叫椭圆的离心率。∵ac0，a∴0e1，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1||PF2||2a）。

注意：①（*）式中是差的绝对值，在02a|F1F2|条件下；|PF1||PF2|2a时为双曲线的一支（含F2的一支）；|PF2||PF1|2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a|F1F2|时，||PF1||PF2||2a表示两条射线；③当2a|F1F2|时，||PF1||PF2||2a不表示任何图形；④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

3

定义

方程

焦点

椭 圆

双 曲 线

|PF1||PF2|2a(2a|F1F2|)

x2y21

a2b2x2y21

b2a2||PF1||PF2||2a(2a|F1F2|)

x2y21

a2b2y2x21

a2b2F(c,0)

F(0,c)

F(c,0)

F(0,c)

注意：如何有方程确定焦点的位置！

（2）双曲线的性质

x2y2①范围：从标准方程221，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直ab22线xa的外侧。即xa，xa即双曲线在两条直线xa的外侧。

x2y2②对称性：双曲线221关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴abx2y2是双曲线的对称轴，原点是双曲线221的对称中心，双曲线的对称中心叫做双ab曲线的中心。

x2y2③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线221的方程ab里，对称轴是x,y轴，所以令y0得xa，因此双曲线和x轴有两个交点x2y2A(a,0)A2(a,0)，他们是双曲线221的顶点。

ab令x0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即

4

x2y2称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线221的各支向外延伸时，与这两条直ab线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；

2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx

；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：x2y2(0)

，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。

x2y2y2x21与1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相⑥注意169916同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程y22pxp0叫做抛物线的标准方程。

p,0），它的准2注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（线方程是xp

；

2（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2px，x2py，x2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方222y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)

5

程

l

图形

y

y

l

y

o

F

x

F

o

x

F

l

o

x

焦点坐标

准线方程

范p(,0)

2(p,0)

2p(0,)

2p(0,)

2xp

2xp

2yp

2yp

2x0

围

对称性

顶点

离心率

x0

y0

y0

x轴

x轴

y轴

y轴

(0,0)

(0,0)

(0,0)

(0,0)

e1

e1

e1

e1

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线

6

的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。

典例解析

题型1：椭圆的概念及标准方程

例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2)，并且椭圆经过点(（3）焦点在x轴上，a:b2:1，cb；

（4）焦点在y轴上，ab5，且过点(2,0)；

（5）焦距为b，ab1；

（6）椭圆经过两点(2235,)；

2235,)，(3,5)。

22x2y2解析：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为221（ab0），

ab∵2a10，c4，∴bac9，

222x2y21。

所以，椭圆的标准方程为259y2x2（2）∵椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为221（ab0），

ab由椭圆的定义知，

3535312a()2(2)2()2(2)21010210，

222222∴a10，又∵c2，∴bac1046，

222y2x21。

所以，椭圆的标准方程为106

7

（3）∵c6，∴a2b2c26，①

22又由a:b2:1代入①得4bb6，

∴b2，∴a8，又∵焦点在x轴上，

22x2y21。

所以，椭圆的标准方程为82y2x2（4）设椭圆方程为221，

ab

∴21，∴b22，

2b222

又∵ab5，∴a3，

y2x21．

所以，椭圆的标准方程为32（5）∵焦距为6，∴c3，

222

∴abc9，又∵ab1，∴a5，b4，

x2y2y2x21或1．

所以，椭圆的标准方程为25162516x2y21（m,n0）（6）设椭圆方程为，

mn5232()()221

由m得m6,n10，

n351mny2x21．

所以，椭圆方程为106点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。

例2．（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 。

8

（2）椭圆的中心为点E(1，0)，它的一个焦点为F(3，0)，相应于焦点F的准线方程为x7，则这个椭圆的方程是（

）

22(x1)22y21

Ａ．213(x1)2y21

Ｃ．52(x1)22y21

Ｂ．213(x1)2y21

Ｄ．5b2422y2a2b,c23xa161为所求；

解析：（1）已知222164abcF(23,0)（2）椭圆的中心为点E(1,0),它的一个焦点为F(3,0),

∴ 半焦距c2，相应于焦点F的准线方程为x. 72a25(x1)2222y1，选D。

∴ ，a5,b1，则这个椭圆的方程是c25点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。

题型2：椭圆的性质

例3．（1）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）

(A)2 (B)122 (C) (D)

224x2y2（2）设椭圆22=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直ab于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 。

x2y22b2a22且c1，解析：（1）不妨设椭圆方程为221（ab0），则有acab据此求出e＝2，选B。

2

9

12b2（2）；解析：由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为，

2a21c112b2a2∴c，∴，∴，即e=。

2aca2ac点评：本题重点考查了椭圆的基本性质。

例4．（1）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ）

A.3 4

B.45

5C.83

5

D.43

3x2y2（2）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y123轴上，那么|PF1|是|PF2|的（ ）

A.7倍 B.5倍

C.4倍

D.3倍

a2解析：（1）D；由题意知a=2，b=1，c=3，准线方程为x=±，

c∴椭圆中心到准线距离为43．

333），即|PF2|=，22（2）A；不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±|PF1|=147，因此|PF1|=7|PF2|，故选A。

2点评：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向。

题型3：双曲线的方程

P到F1,F2的距离差的绝例5．（1）已知焦点F1(5,0),F2(5,0)，双曲线上的一点对值等于6，求双曲线的标准方程；

x2y21共焦点且过点(32,2)的双曲线的方程；

（2）求与椭圆255（3）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1,P2坐标分别为

10

9(3,42),(,5)，求双曲线的标准方程。

4解析：（1）因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2y21(a0,b0)，

a2b2∵2a6,2c10，∴a3,c5，∴b5316。

222x2y21；

所以所求双曲线的方程为916x2y21的焦点为(25,0),(25,0)，可以设双曲线的方程为（2）椭圆255x2y2221ab20。

，则22ab又∵过点(32,2)，∴218221。

2ab2x2y2综上得，a20210,b210，所以1。

20210210点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量a,b,c之间的关系。

（3）因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为y2x221(a0,b0)①；

2ab∵点P1,P2在双曲线上，∴点P1,P2的坐标适合方程①。

(42)232212b9a将(3,42),(,5)分别代入方程①中，得方程组：

92425()2421ba1111a216将2和2看着整体，解得，

ab11b29

11

2y2x2a161。

∴2即双曲线的标准方程为169b9点评：本题只要解得a2,b2即可得到双曲线的方程，没有必要求出a,b的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。

例6. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________. 解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即c:b5:4，解得c5,b4，则双曲线的标准方程是x2y21；

916点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。

题型4：双曲线的性质

x2y2例7．（1）已知双曲线221(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为ab60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞)

y2（2）过双曲线M:x21的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两b2条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( ) A.10 B.5 C.22105 D.

32xyπ（3）已知双曲线2

－

=1(a>2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率a23为（ ）

2623A.2 B.3 C. D.

33

x2y2o解析：（1）双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60ab

12

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的2a2b2bb2c≥4，∴ e≥2，选C。

斜率，∴ ≥3，离心率e=2aaaa2y2（2）过双曲线M:x21的左顶点A(1，0)作斜率为1的直线l：y=x－1, 若b2y2l与双曲线M的两条渐近线x20分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2), 联立方程b2组代入消元得(b21)x22x10，

2xx121b2∴ ，x1+x2=2x1x2，

1xx121b21x14又|AB||BC|,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，

1x22∴ b2=9，双曲线M的离心率e=c10，选A。

ax2y2π231(a>2)的两条渐近线的夹角为

，则tan（3）双曲线2，3a2a63∴ a=6，双曲线的离心率为223

，选D。

3点评：高考题以离心率为考察点的题目较多，主要实现a,b,c三元素之间的关系。

x2y21的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4例8．（1）P是双曲线－＝916和（x－5）＋y＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）

A. 6 B.7 C.8 D.9 （2）双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2倍，则m

A．222211 B．4 C．4 D．

44（3）如果双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为

13

y2x，那么它的两条准线间的距离是（ ）

A．63

B．4

C．2

D．1

解析：（1）设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B。

（2）双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为x21y21，∴ m=，选A。

44（3）如果双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为y2x，

a2b29a23a22，选C。

∴b，解得2，所以它的两条准线间的距离是2cb62a点评：关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。

题型5：抛物线方程

例9．（1）)焦点到准线的距离是2；

（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程。

解析：（1）y=4x，y=4x，x=4y，x=4y；

2222

方程是x=8y。

点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。

题型6：抛物线的性质

2x2y21的右焦点重合，则p的值例10．（1）若抛物线y2px的焦点与椭圆622

14

为（ ）

A．2 B．2 C．4 D．4

（2）抛物线y28x的准线方程是（ ）

(A) x2 (B) x4 (C) y2 (D) y4

（3）抛物线y24x的焦点坐标为( ) （A）(0,1). （B）(1,0). （C）(0,2). （D）(2,0)

x2y21的右焦点为(2,0)，解析：（1）椭圆所以抛物线y22px的焦点为(2,0)，62则p4，故选D；

（2）2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A；

（3）（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y=4x的焦点坐标为

应选B。

点评：考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。

例11．（1）抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是（ ）

A．2。478 B． C． D．3

355（2）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。

（3）对于抛物线y=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（ ）

A.（－∞，0）

22B.（－∞，2] C.［0，2］

D.（0，2）

能使这抛物线方程为y＝10x的条件是 ．（要求填写合适条件的序号）

解析：（1）设抛物线yx上一点为(m，－m)，该点到直线4x3y80的距22

15

|4m3m28|24离为，当m=时，取得最小值为，选A；

335（2）答案：②，⑤

解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤。

（3）答案：B y解析：设点Q的坐标为（0，y0），

42y222由 |PQ|≥|a|，得y0+（0－a）≥a. 4整理，得：y0（y0+16－8a）≥0，

∵y0≥0，∴y0+16－8a≥0.

22222yy即a≤2+0恒成立.而2+0的最小值为2. 88∴a≤2.选B。

点评：抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。

思维总结

在复习过程中抓住以下几点：

（1）坚持源于课本、高于课本，以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》.并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定，其实质是精通课本，而本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键；

（2）在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题，若能用定义法，可避免繁琐的推理与运算；

（3）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

22p;y22px:PFx12px22py:PFy1;x22py:PFy12y22px:PFx1

p2

p216

圆锥曲线方程及性质

1．椭圆

（1）椭圆概念

x2y2y2x2椭圆的标准方程为：221（ab0）（焦点在x轴上）或221（ab0）abab（焦点在y轴上）。

板书设2．双曲线

计

（1）双曲线的概念

（2）椭圆的性质

①范围、②对称性、③顶点、④离心率

x2y2y2x2双曲线的标准方程为：221（a0,b0）（焦点在x轴上）或221abab（a0,b0）（焦点在y轴上）。

（2）双曲线的性质

①范围、②对称性、③顶点、④渐近线、⑤等轴双曲线：

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3．抛物线

（1）抛物线的概念

抛物线的标准方程：y22px、y22px、x22py、x22py

教

学

反

思

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