3.1.1 空间向量及其加减运算优秀教学设计

学案编号：sxxx2-1 001

广州市禺山高级中学高二级数学科

课题：§3.1.1空间向量及其运算

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【课时安排】1课时

【学习目标】

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

【重点难点】

重点是空间向量的概念，空间向量加法、减法、数乘向量及其意义；

难点是用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。

【课前预习】教材P84~ P86

【课前检测】

复***面向量基本概念：

具有

和

的量叫向量，

叫向量的模（或长度）；

叫零向量，记着

；

叫单位向量.

叫相反向量，

a的相反向量记着

.

叫相等向量. 向量的表示方法有

，

，和

共三种方法.

复***面向量有加减以及数乘向量运算：

1. 向量的加法和减法的运算法则有

法则和

法则.

2. 实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个

量，记作

，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝

.(2)当λ＞0时，λa与A.

；当λ＜0时，λa与A.

；

当λ＝0时，λa＝

. 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

【自主探究】

问题：

什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？

新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB

，

AB

，

试试：1.

分别用平行四边形法则和三角形法则求ab,ab.. AC5,则AC

AB,

BC

AB. CB2反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？

⑴加法交换律：a＋b＝b＋a

⑵加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

⑶数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

2. 点C在线段AB上，且【重点难点突破】

例1 已知平行六面体ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

1

⑵ABAD

⑴ABBC；A'；A⑶ABADC'C2

1

学案编号：sxxx2-1 001

广州市禺山高级中学高二级数学科

1

⑷(ABADAA')．2

'变式：在上图中，用AB,AD,AA'表示AC,BD'和DB'. 小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

例2

化简下列各式：

⑴

ABBCCA;

⑵ABMBBOOM;

⑶ABACBDCD;

⑷

OAODDC.

变式：化简下列各式：

⑸

OAOCBOCO;

⑹

ABADDC;

⑺

NQQPMNMP. 小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.

【课堂练习】

1. 下列说法中正确的是（

）

A. 若∣a∣=∣b∣，则a，b的长度相同，方向相反或相同; B. 若a与b是相反向量，则∣a∣=∣b∣;C. 空间向量的减法满足结合律; D. 在四边形ABCD中，一定有ABADAC. 2. 长方体ABCDA'B'C'D'中，化简AA'A'B'A'D'=

3. 已知向量a，b是两个非零向量，a0,b0是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（

）A. a0b0

B. a0b0或a0b0

C. a01

D. ∣a0∣=∣b0∣

4. 在四边形ABCD中，若ACABAD,则四边形是（

）

A. 矩形

B. 菱形

C. 正方形

D. 平行四边形

5. 下列说法正确的是（

）

A. 零向量没有方向

B. 空间向量不可以平行移动

C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

【课后作业】

1、在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N分别为BC,B'C'的中点，化简下列式子：

⑴

AM

+ BN

⑵A'N－MC+ BB

''2. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M为AC与的BD的交点，ABa，ADb，A1Ac，则下列向量中与B1M相等的是（

）

1111A.

abc

B.

abc

22221111C.

abc

D. abc

2222

收获：

存在问题：

2