1.2.2 充要条件优质课一等奖教案

1.2.2

充要条件

学习目标

1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断．

知识点一

充要条件的概念

(1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

知识点二

常见的四种条件与命题真假的关系

如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：

原命题

真

逆命题

真

p与q的关系

p是q的充要条件

q是p的充要条件

p是q的充分不必要条件

q是p的必要不充分条件

p是q的必要不充分条件

q是p的充分不必要条件

p是q的既不充分也不必要条件

q是p的既不充分也不必要条件

真

假

假

真

假

假

知识点三

从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．

1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(

√

) 2．若綈q是p的充要条件，则綈p是q的充要条件．(

√

)

类型一

充要条件的判断

例1

(1)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(

) A．充要条件

C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

必要不充分条件的判定

答案

C 解析

分别判断x>y⇒x>|y|与x>|y|⇒x>y是否成立，从而得到答案．

当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；

若x>|y|，因为|y|≥y，所以x>y. 所以x>y是x>|y|的必要不充分条件．

(2)下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为________．(填序号) ①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；

②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

③p：|x|>3，q：x2>9. 考点

充要条件的概念及判断

题点

充要条件的判断

答案

①②③

解析

①在△ABC中，有∠A>∠B⇔sin A>sin B，

所以p是q的充要条件．

②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；

若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，

所以p是q的充要条件．

③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件．

反思与感悟

判断p是q的充分必要条件的两种思路

(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若

p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．

(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．

跟踪训练1

(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(

) A．ab＝0

C．a2＋b2＝0

考点

充要条件的概念及判断

题点

充要条件的判断

答案

D 解析

a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0. (2)“x>1”是“log1(x＋2)<0”的(

) 2B．ab>0 D．a2＋b2>0 A．充要条件

C．必要不充分条件

考点

充要条件的概念及判断

题点

充要条件的判断

答案

B B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

由x>1⇒x＋2>3⇒log1(x＋2)<0，log1

(x＋2)<0⇒x＋2>1⇒x>－1，故“x>1”是22“log1(x＋2)<0”成立的充分不必要条件．故选B. 2类型二

由条件关系求参数取值范围

例2

已知集合A是不等式x2－8x－20≤0的解集，集合B是不等式(x－1－a)(x－1＋a)>0(a>0)的解集．p：x∈A，q：x∈B，若p是綈q的充分不必要条件，求a的取值范围．

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围

解

由x2－8x－20≤0，解得－2≤x≤10，

∴A＝{x|－2≤x≤10}，

由(x－1－a)(x－1＋a)>0，得x<1－a或x>a＋1，

∴B＝{x|x<1－a或x>1＋a}，

则p：－2≤x≤10，綈q：1－a≤x≤1＋a，

∵p是綈q的充分不必要条件，

a>0，∴1－a≤－2，1＋a>10解得a≥9，

a>0，或1－a<－2，1＋a≥10，

∴a的取值范围是[9，＋∞)．

引申探究

本例中若p，q不变，是否存在实数a，使p是綈q的充要条件，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

解

∵p：－2≤x≤10，綈q：1－a≤x≤1＋a，

1－a＝－2，若p是綈q的充要条件，则无解．

1＋a＝10，

故不存在实数a使得p是q的充要条件．

反思与感悟

由条件关系求参数的取值(范围)的步骤

(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．

(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．

跟踪训练2

若“x2>1”是“x

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围

答案

－1 解析

因为x2>1，

所以x<－1或x>1. 又因为“x2>1”是“x

所以x1但x2>1⇏x

所以a≤－1，所以a的最大值为－1. 类型三

充要条件的探求与证明

例3

(1)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________．

考点

充要条件的概念及判断

题点

探求充要条件

答案

a<－1 解析

函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．

故“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a<－1. (2)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 考点

充要条件的概念及判断

题点

充要条件的证明

证明

充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，

∴方程一定有两个不等实根，

c设两实根为x1，x2，则x1x2＝<0，

a∴方程的两根异号，

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，

c设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，且Δ＝b2－4ac>0，

a即ac<0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 反思与感悟

(1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即p⇒q. (2)求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合．这就要求我们转化的时候思维要缜密．

跟踪训练3

(1)已知直线l1：x＋ay＋6＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________. 考点

充要条件的概念及判断

题点

探求充要条件

答案

－1 解析

由1×3－a×(a－2)＝0，得a＝3或－1，

而当a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1. 11(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. xy考点

充要条件的概念及判断

题点

充要条件的证明

11证明

(1)必要性：由<，

xyy－x11得－<0，即<0，

xyxy又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.

(2)充分性：由xy>0及x>y，

xy11得>，即<. xyxyxy11综上所述，<的充要条件是xy>0. xy

1．“x2>2 017”是“x2>2 016”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

充分不必要条件的判定

答案

A 2．a<0，b<0的一个必要条件为(

) A．a＋b<0

aC.>1

b考点

充要条件的判断

题点

识别四种条件

答案

A 解析

a＋b<0⇏a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0. 3．下列命题为假命题的是(

) A．在△ABC中，B＝60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件

B．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是x＝－1 C．在△ABC中，A＝B是sin A＝sin B的充要条件

D．lg x>lg y是x>y的充要条件

考点

充要条件的概念及判断

题点

充要条件的判断

答案

D 解析

选项A中，由B＝60°⇒A＋C＝120°⇒A＋C＝2B⇒角A，B，C成等差数列；

而角A，B，C成等差数列⇒A＋C＝2B，

又A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，

B．a＋b>0 aD.<－1 b

所以B＝60°，故命题为真．

选项B中，a⊥b⇔a·b＝0，

即2x＋2＝0，得x＝－1，故B正确．

选项C中，在△ABC中，A＝B⇒sin A＝sin B，

反之，若sin A＝sin B，

因为A与B不可能互补(因为三角形的三个内角和为180°)，所以只有A＝B. 故A＝B是sin A＝sin B的充要条件．

选项D中，取x＝2，y＝0，

有x>y，但lg y却无意义，所以是假命题．

4．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________________．

考点

充要条件的概念及判断

题点

探求充要条件

答案

m＝－4或m＝0 解析

圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离为2，

即|1＋1＋m|＝2，即|2＋m|＝2，解得m＝－4或m＝0. 25．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围

mmx<－. 解

由3x＋m<0，得x<－，∴p：A＝x33

由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3，

∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．

m∵p⇒q而q⇏p，∴AB，∴－≤－1，

3∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．

1．充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法．

2．充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

一、选择题

1．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

充分不必要条件的判定

答案

A 解析

当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数．

2．设p：x<3，q：－1

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

必要不充分条件的判定

答案

C 解析

∵x<3⇏－1

∴p是q的必要不充分条件，故选C.

3．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

考点

充要条件的概念及判断

题点

充要条件的判断

答案

D 解析

当数列{an}的首项a1<0时，若q>1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1<0时，要使数列{an}为递增数列，则01”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D. 4．在下列三个结论中，正确的有(

) ①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；

②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；

③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．

A．①②

C．①③

B．②③

D．①②③

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

必要不充分条件的判定

答案

C 解析

①中，x2>4⇒x>2或x<－2，

x3<－8⇒x<－2，

由x<－2⇒x>2或x<－2，

x>2或x<－2⇏x<－2，

∴x2>4是x3<－8的必要不充分条件；

②中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件；③正确．故①③正确．

5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(

) A．m＝－2

C．m＝－1

考点

充要条件的概念及判断

题点

探求充要条件

答案

A mmx＋2＋1－，

解析

∵f(x)＝x＋mx＋1＝2422B．m＝2 D．m＝1 mm∴f(x)的图象的对称轴为x＝－，由题意得－＝1，

22∴m＝－2.

6．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(

) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

充分不必要条件的判定

答案

A 解析

因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．

又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，

所以丙⇒乙，但乙D⇏丙，如图．

综上，有丙⇒甲，但甲D⇏丙，

既丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

7．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是(

) A．x≥0

C．log2(x＋1)>0

B．x2≥－x

D．2x<1 考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

必要不充分条件的判定

答案

B 解析

∵|x|＝x⇔x≥0，

∴选项A是充要条件，选项C，D均不符合题意．

对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，

∴x≥0或x≤－1. 故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．

8．设条件p：|x－2|<3，条件q：0

) A．(0,5]

C．[5，＋∞)

B．(0,5) D．(5，＋∞) 考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围

答案

A 解析

由|x－2|<3，得－3

即－1

因为q：0

所以要使p是q的必要不充分条件，则0

9．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．

考点

充分、必要条件和充要条件的综合应用

题点

充分不必要条件的判定

答案

充分不必要

解析

a＝1⇒N⊆M，

N⊆M⇒a2＝1或2，

∴N⊆M⇏a＝1，

故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．

10．设计如图所示的三个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡是q的充分不必要条件的电路图是________．

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

充分不必要条件的判定

答案

(1) 11．给出下列三个命题：

①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；

②“α>β”是“cos α

③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．

其中正确命题的序号为________．

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

充分不必要条件的判定

答案

③

L亮”，则p

解析

①∵函数y＝3x是R上的增函数，∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错误；3π3π3π3π②∵2π>，则cos 2π>cos

，∴α>β⇏cos α

，π<，∴cos α

2222α>β，

∴“α>β”是“cos α

12．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是________．

考点

充要条件的概念及判断

题点

探求充要条件

答案

m＝0 解析

当m＝0时，原方程即为x＝2，满足条件；

当m≠0时，有m＋1m2＝2，解得m＝1或m＝－12，

但Δ＝(m＋1)2－8m2，

当m＝1及m＝－12时，均使Δ<0，

故充要条件是m＝0.

三、解答题

13．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．

(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5

考点

充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点

利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围

解

由M∩P＝{x|5

(1)M∩P＝{x|5

(3)若a＝－5，显然M∩P＝[－5，－3)∪(5,8]是M∩P＝{x|5

故a<－3时为必要不充分条件．

四、探究与拓展

14．已知p：x－1≤0，q：4xx＋2x－m≤0，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(

A．[6，＋∞)

B．(－∞，2＋2] C．[2，＋∞)

D．(2＋2，＋∞) )

考点

充分条件、必要条件的概念及判断

题点

由充分条件、必要条件求参数的范围

答案

A x－1解析

由≤0，得0

因为4x＋2x＝(2x)2＋2x＝24要使p是q的充分条件，

则当0

又当x＝1时，4x＋2x有最大值6，所以m≥6.故选A. 15．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1. 考点

充要条件的概念及判断

题点

充要条件的证明

证明

充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn1(p－1)，

－当n＝1时也成立．

an＋1pnp－1∵p≠0且p≠1，∴＝＝p，

anpn－1p－1即数列{an}为等比数列．

必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn1(p－1)，

－an＋1pnp－1∵p≠0且p≠1，∴＝＝p. anpn－1p－1∵{an}为等比数列，

a2∴＝p，即a2＝p2＋pq＝p2－p，解得q＝－1. a1故数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.