1.2.1 充分条件与必要条件教案3

第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题

概念

特点

分类

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系：

使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句

(1)能判断真假；(2)陈述句

真命题、假命题

(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4. 3．充要条件

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

pq且qp p⇒q且qpp p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B

A是B的真子集

B是A的真子集

A＝B

A，B互不包含

集合与

充要条件

q且q⇒p p⇔q [小题体验]

1．下列命题是真命题的为(

) 11A．若x＝y，则x＝y

C．若x＝y，则x＝y

B．若x2＝1，则x＝1

D．若x

11解析：选A

由x＝y易得x＝y；由x2＝1，得x＝±1；

若x＝y<0，则x与y均无意义；

若x＝－2，y＝1，虽然xy2. 所以真命题为A. 2．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±3，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．

3．(教材习题改编)已知命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．

答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0

1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/B)两者的不同．

[小题纠偏]

1．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C

∵x>1，∴x3>1，又x3－1>0，即(x－1)(x2＋x＋1)>0，解得x>1，∴“x>1”是“x3>1”的充要条件．

2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________. 解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，

结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．

即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．

答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角

考点一

命题及其相互关系

基础送分型考点——自主练透

1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是(

) A．若a2>b2，则a≤b

C．若a≤b，则a2>b2

B．若a2≤b2，则a≤b

D．若a≤b，则a2≤b2

解析：选B

根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b. 2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(

) A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题

B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题

D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题

解析：选C

根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或

－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．

3．(易错题)给出以下四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④若ab是正整数，则a，b都是正整数．

其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．

答案：①③

[谨记通法]

1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点

(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．

2．命题真假的2种判断方法

(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．

(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．

考点二

充分必要条件的判定

重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

1．(2015·北京高考)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．

2．(2015·天津高考)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的(

)

A．充分而不必要条件

C．充要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

|x－2|<1⇔10⇔x>1或x<－2. 由于{x|11或x<－2}的真子集，

所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．

3．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，

所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，

因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．

[由题悟法]

充要条件的3种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．

[即时应用]

1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，

q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，

∵AB，

∴p是q的充分不必要条件．

2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上

知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．

考点三

充分必要条件的应用

题点多变型考点——纵引横联

[典型母题]

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

[解]

由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. 则{1－m≤1＋m，－m≥－2，＋m≤10，

∴0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，

即所求m的取值范围是[0,3]. [类题通法]

根据充要条件求参数的值或取值范围的关键：

先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．

[越变越明]

[变式1]

母题条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，m＝3，∴∴

1＋m＝10，m＝9，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

[变式2]

母题条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：由母题知P＝{x|－2≤x≤10}，

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P⇒S且S⇒/P. ∴[－2,10][1－m,1＋m]．

1－m≤－2，1－m＜－2，∴或

1＋m＞101＋m≥10.

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．

[破译玄机] 本题运用等价法求解，也可先求綈P，綈S，再利用集合法列出不等式，求出m的范围．

[变式3]

若P，S分别变为：p：(x－m)2>3(x－m)，s：x2＋3x－4<0.若x∈p是x∈s的必要不充分条件，求m的取值范围．

解：记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)(x－m－3)>0}＝{x|xm＋3}，S＝{x|x2＋3x－4<0}＝{x|(x＋4)(x－1)<0}＝{x|－4