1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学设计模板

1.4.3含有一个量词的命题的否定

【学习目标】

1.知识与技能目标

（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词 的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

2．过程与方法目标

：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

3.情感态度价值观

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

【学习重点与难点】

重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．

难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．

【自主学习】

含有一个量词的命题的否定

(1)全称命题p：错误！未找到引用源。，p(x)，它的否定非p

，

全称命题的否定是 命题．

(2)特称命题p：错误！未找到引用源。，p(x0)，它的否定非p：

- 1 -

，

特称命题的否定是 命题．

【自我小测】

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)命题¬p的否定是p.(

)

(2)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,¬p(x)的真假性相反.(

) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)“至多有三个”的否定为_______________

.

(2)已知命题p:∀x∈R,sinx≤1,则¬p是____________

. 2

(3)命题“∃x0∈Q, x0=5”的否定是______命题.(填“真”“假”)

[解析]1.

(1)正确.命题p与¬p互为否定.

(2)正确.特称命题p与其否定¬p一真一假.

(3)错误.尽管特称命题的否定是全称命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.

答案:(1)√

(2)√

(3)×

[解析]2

(1)“至多有三个”的否定为“最少有四个”.

答案:最少有四个

(2)命题p是全称命题,其否定为∃x0∈R,sinx0>1.

答案:∃x0∈R,sinx0>1

(3)该命题的否定为∀x∈Q,x2≠5,为真命题.

答案:真

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让学生回答上面内容,考察学生的预习效果,并让学生展示不同的结果,从而总结出下列规律:由2(1)得到下面的第一点,由1(2)和第2(3)得到下面的第二点. [方法规律总结]

(1)用自然语言描述的命题的否定形式不惟一

(2)判断命题真假时,可直接判断该命题也可判断该命题的否定.从而得到命题的真假. 原词

等于

大于

小于

是

都是

否定词

不等于

不大于

不小于

不是

不都是

原词

至多一个

至少一个

任意

所有的

否定词

至少两个

一个也没有

某个

某些

接下来去看这部分知识的考查方式,试题类型,小组合作完成并展示

类型一:

写全称命题和特称命题的否定并判断真假

例1. 写出下列命题的否定并判断真假．

(1)p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；

(2)p：有的三角形是等边三角形；

(3)p：所有能被3整除的整数是奇数；

(4)p：每一个平面四边形的四个顶点共圆．

- 3 -

[解析]

(1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.

真

(2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形．

假

(3)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．

真

(4)¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆．

真

[方法规律总结]

1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论.

2.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．

【变式训练】1.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是

(

) A.∀x∈R,|x|+x2<0

B.∀x∈R,|x|+x2≤0 D.∃x0∈R,|x0|+x02≥0 C.∃x0∈R,|x0|+x02<0 [解析]选C.条件∀x∈R的否定是∃x0∈R,结论“|x|+x2≥0”的否定是“|x0|+x02<0”. 2．下列说法正确的是(

)

A．“a>1”是“f(x)＝logax(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的

充要条件

B．命题“∃x∈R使得x2＋2x＋3<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3>0”

C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件

D．命题p：“∀x∈R，sinx＋cosx≤

2”，则¬p是真命题

[答案]

A

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类型二:

根据全程命题和特称命题求参数取值范围

例2 若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，2] C．(－2，＋∞)

B．[2，＋∞) D．(－2,2) [解析]

ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对∀x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0恒成立．

当a＋2＝0时，不符合题意．

a＋2>0a＋2>0，故有，即，

Δ≤016－4a＋2a－1≤0

解得a≥2. [答案]

B [方法规律总结]

应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型

1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．

2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．

2【变式训练】若存在x0∈R，使ax0＋2x0＋a＝0，则实数a的取值范围是________．

[解析]

当a＝0时，x0＝0满足题意．

当a≠0时，由题意知方程ax2＋2x＋a＝0有实数根，

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a≠0∴，∴－1≤a<0或0

综上可知－1≤a≤1. 【易错误区】混淆命题的否定与否命题而致误

【典例】(2014·临沂高二检测)命题“任意x∈R,若y>0,则x2+y>0”的否定是

. [解析]已知命题是一个全称命题,其否定为特称命题,先将“任意”换成“存在”再否定结论, 即命题的否定是: 存在x0∈R,若y>0,则x02+y≤0. 答案:存在x0∈R,若y>0,则x02+y≤0 【防范措施】

命题的否定与否命题

命题的否定只否定结论.否命题是条件和结论都要否定,如本例中命题的否定,否定结论没有否定条件. 【类题试解】命题p:任意x,y∈R,若x>y,则x2>y2,则命题p的否定为_____________

,否命题为___________________

. [解析]命题p的否定为:存在x0,y0∈R,若x0>y0,则x2≤y2

否命题为:任意x,y∈R,若x≤y,则x2≤y2. 答案:存在x0,y0∈R,若x0>y0,则

x2≤y2. 任意x,y∈R,若x≤y,则x2≤y2

【小结】

1:全称命题和特称命题的否定

2:全称命题和特称命题的考查题型

【作业】

题单上的作业

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