3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教案评析

《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计

合江县马街中学数学组 罗贵琼

一、教学背景分析

（一）教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课. 本章知识结构

空间向量的定

义及其运算

《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标的转化，进而为后面的立体几何问题的解决服务.但同时，学生已经在之前的必修4中学***面向量的相关知识. 2 空间向量运算的几何表示

（如平行四边形法则）

用空间向量表示点、直线、平面等元素

建立空间图形与空间向量的联系

利用空间向量的运算解决立体集合中的问题

空间向量运算的坐标表示

（加减法、数乘、数量积）

因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比，．．引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳，体验数学在结．．．．．．构上的和谐性与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度增加所带．．．．．．．．来的影响.”

“又因为教材在本章专门安排了一个‘阅读与思考

向量概念的推广与应用’，把二维向量，三维向量，推广为高维向量，并说明了其应用. ．．

有条件的地区，可以引导学生学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质向多维推广.”

．．．．

而事实上，之前学生所学习的向量共线定理，本质也是一样的，因此，

仔细研究教材的编写意图，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了．．．．一个重要的承上启下的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，．．．．

3 平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一，同时通过教材的阅读与思考．．．．．．．．．．环节，又将学生带入了高维向量的世界，完成了一个学生对于不同维度下向量空间结构的认识的升华过程，巧妙至极！

．．

（二）学生学情分析

在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学***面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备. 因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易的，但是证明唯一性具有一定的难度. 同时有了平面向量坐标的定义，得到．．．．空间坐标的定义是容易的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性的理解却．．．．．是模糊的. ．．

因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：

重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义. 难点：类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的证明，与坐标定义中选择单位正交基底的合理性．

二、教学目标设置

依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下： 1、

通过类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的．．表述形式；

2、

理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；

3、

体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量积问题的意义所在；

4、

掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；

5、

体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与必要性，并将本节课所获得的结果，在高维向量空间作简单的推广，培养学4 生的类比归纳能力. 三、教学策略分析

鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略： 1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；

2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；

3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构特点上的统一性，并通过简单探究将向量．．．．．空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；

四、教学过程

为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下七个环节：

引入

温故知新，建立定理

严格论证，完善定理

实例探究，应用定理

回顾历程，审视定理

大胆猜想，推广定理

小结

接下来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图作出说明. （一）引入

问题1：如图，已知a，b是给定的向量，对于任意的p，请问p能用a，b表示吗？

pbBOaPA【学生活动】学生思考是否能够表示，有学生认为可以，理由是之前学***面向量基本定理，还有学生认为不一定，因为p可能与a，b不共面. 【设计意图】本节课的采用通过从平面向量到空间向量的类比得到空间向量的．．相关内容的类比教学策略，因此设置该问题，让学生意识到我们现在不单单是研究平面向量，同时研究空间向量，但容易发现它们之间有类似的地方，因此本节课的目的就是要弄清推广过程中的不同之处，并加以解决. （二）温故知新，建立定理

问题2：如果a，b，p是共面的，那该怎么表示呢？

【学生活动】学生提出通过作平行四边形的方法，可以得到

定理的表述：

平面向量基本定理：如果向量a，b不共线，那么对于平面中的任一向量p，存．在唯一有序实数组{x,y}，使得p?xa?yb，其中{a,b}称为平面的一组基底.．

【教师总结】这个就是我们之前在必修4中所学***面向量基本定理，同时我们知道这个分解不但存在，而且唯一！

．．．．

【设计意图】用这个问题，帮助学生回顾之前所学***面向量基本定理，同时为后面推广为空间向量基本定理作好铺垫. 问题3：如果a，b，p是不共面的，那该怎么办呢？

【学生活动】学生思考提出应该再给出一个向量

问题4：随便再给出一个向量都行吗？

【学生活动】学生提出新给出的向量应该与a，b不共面. 问题5：如果再给出一个与a，b不共面的c，现在该怎么表示p？

【学生活动】学生回答类似平面向量基本定理的做法，先过点P作OC的平行线，交a，b所在的平面于点M，连接OM,可以得到

【教师总结】这个过程与平面向量基本定理十分相似，如果我们也给这个定理取一个名字，就可以把它叫做空间向量基本定理. 问题6：我们可以通过修改平面向量基本定理的表述，得到空间向量基本定理吗？

【学生活动】可以，只需要作出以下修改：

空间向量基本定理：如果向量a，b，c不共面，那么对于空间中的任一向量p，存在唯一有序实数组{x,y,z}，使得p?xa?yb?zc，其中{a,b,c}称为空间的一．．．．组基底. 【设计意图】通过类比平面中的分解过程，让学生在本质上体会空间向量在类．．似问题的处理上方法的相通之处；同时通过修改平面向量基本定理的方法来得．．到空间向量基本定理的表述，让学生再从形式上体会两个定理的相似之处，从类比的思想方法. （三）严格论证，完善定理

问题7：我们在平面向量基本定理中知道，p在基底{a,b}下的分解不但存在，而且唯一，那么空间向量基本定理中的分解也唯一吗？

【学生活动】学生认为分解唯一，且通过刚才作图过程的唯一性来说明. 【教师总结】从刚才分解过程来看，作图过程是唯一的，但是如果我先将p按照其他方式分解成几个向量，然后再分别在基底{a,b,c}下分解，分解系数仍然不变吗？我们发现通过作图观察问题是一个非常直观有效的方法，但是缺乏必要的逻辑推理，因此无法代替严格的证明，那么请同学们思考，该如何证明分解的唯一性？．

【学生活动】鉴于这个问题有一定的难度，教师要求学生先进行独立思考，然后．．．．．．．在有自己的想法之后，分成4人小组讨论这个问题，并且最后邀请一位学生上台．．通过实物投影仪来讲述自己的证明方法：

证明：假设存在两种分解，即p?x1a?y1b+z1c，且p?x2a?y2b+z2c，则有

0?(x1?x2)a?(y1?y2)b+(z1?z2)c （i）若z1?z2?0，则0?(x1?x2)a?(y1?y2)b，由平面向量基本定理分解的唯一．．．．．．．．．．．．．性可知x1?x2?y1?y2?0，所以是同一种分解；

．

（ii）若z1?z2?0，则

c?x1?x2y?ya?12b， z2?z1z2?z1那就会有c与a，b共面，矛盾！

所以，只存在一种分解. 【教师总结】这位同学通过代数方法证明了分解的唯一性，很好！这样，我们就得到了完整的空间向量基本定理. 【设计意图】分解的唯一性在选秀2-1教材的定理表述中并没有指出，但考虑．．．

到以下两点原因：1、在必修了唯一性；2、．．4．平面向量基本定理的表述中提到．．教学参考要求这个节课要让学生体会从平面向量基本定理到空间向量基本定理