2.2.2 椭圆的几何性质优质公开课教案

2．2.2

椭圆的几何性质

[对应学生用书P22]

建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．

x2y2以方程2＋2＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：

ab问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？

y2x2提示：由2＝1－2≥0，得－a≤x≤a. ba同理－b≤y≤b. 问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？

提示：不变．

问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？

提示：令x＝0，得y＝±b；

令y＝0，得x＝±a；

与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，

与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．

椭圆的几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

范围

顶点

轴长

焦点

焦距

对称性

离心率

y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2－a≤y≤a，－b≤x≤b

(0，±a)，(±b,0)

(0，±c) F1F2＝2c

x2y2＋＝1(a＞b＞0)

a2b2－a≤x≤a，－b≤y≤b (±a,0)，(0，±b)

短轴长＝2b，长轴长＝2a

(±c,0)

对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0) ce＝∈(0,1) a

1．椭圆的对称性

椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．

2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系

(1)0

(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．

(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．

[对应学生用书P23]

[例1]

求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．

[思路点拨]

本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质．

[精解详析]

椭圆的方程可化为

y2x＋＝1，∴a＝9，b＝1，

812已知椭圆方程求几何性质

∴c＝81－1＝80＝4 5，

∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2. ∵椭圆的焦点在y轴上，

故其焦点坐标为F1(0，－4 5)，F2(0,4 5)，

顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，

c4 5B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝＝. a9[一点通]

求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a，b的值，进而求出c，写出椭圆的几何性质参数．

x2y211．若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．

m43解析：当m>4时，由c2＝a2－b2＝m－4，

得m－419＝.解得m＝. 32m当m<4时，由c2＝a2－b2＝4－m，

得4－m132＝，解得m＝. 239932答案：或

292．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

x2y2解：椭圆方程变形为＋＝1，

94∴a＝3，b＝2，

∴c＝a2－b2＝9－4＝5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝25，

焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，

c5顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝＝. a3

[例2]

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

4(1)长轴长为20，离心率等于；

5(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．

[思路点拨]

先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a、b、c，得到椭圆的标准方程．

c4[精解详析]

(1)∵2a＝20，e＝＝，

a5∴a＝10，c＝8，b2＝a2－c2＝36. x2y2由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝10036y2x21或＋＝1. 10036x2y2y2x2(2)设椭圆的标准方程为2＋2＝1或2＋2＝1(a>b>0)．

abab

由椭圆的几何性质求标准方程

由已知a＝2b，①

且椭圆过点(2，－6)，从而有

2－622222－6＋2＝1或2＋2＝1.②

a2bab由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13. x2y2y2x2故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 148375213[一点通]

在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．

3．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为3，且G上一点到G的2两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________．

c3解析：由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝33，b＝3. a2x2y2故椭圆方程为＋＝1. 369x2y2答案：＋＝1 3694．求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；

5(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 13解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．

由椭圆的定义知，

2a＝32＋2＋22＋32＋2－22＝8，

所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12. y2x2又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 1612(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，

c5又e＝＝，所以c＝5，

a13所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，

因为焦点所在的坐标轴不确定，

x2y2y2x2所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 169144169144

x2y2[例3]

已知椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.P是椭圆M上的任ab12c，3c2，其中c2＝a2－b2，求椭圆的离心率的取一点，且PF1·PF2的最大值的取值范围为2值范围．

[思路点拨]

由P是椭圆上一点，知PF1＋PF2＝2a，进而设法求出PF1·PF2的最大值，再由已知的范围求出离心率e的范围．

[精解详析]

∵P是椭圆上一点，

∴PF1＋PF2＝2a，

∴2a＝PF1＋PF2≥2 PF1·PF2，

即PF1·PF2≤a2，

当且仅当PF1＝PF2时取等号．

121c222∴c≤a≤3c，∴≤2≤2，

23a13∴≤e2≤2，∴≤e≤2. 33∵0

33. 3，1与椭圆离心率有关的问题

∴椭圆的离心率的取值范围是[一点通]

1．椭圆的离心率的求法：

(1)直接求a，c后求e，或利用e＝b2b1－2，求出后求e. aa(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或ca4构造关于(e)的方程求e. a2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．

5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．

解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，

则由已知得2a＋2c＝4b.

即a＋c＝2b，

又a2＝b2＋c2，

533解得a＝b，c＝b，e＝. 4453答案：

5x2y26．椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且abPF1·PF2的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝a2－b2，则椭圆M的离心率e的取值范围是________．

解析：设P(x，y)、F1(－c,0)、F2(c,0)，

则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，

PF1·PF2＝x2＋y2－c2，

又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，

所以(x2＋y2)max＝a2，(PF1·PF2)max＝b2，

11所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2≤，

4212所以≤e≤. 2212答案：，

22

[例4]

某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若其近11地点、远地点离地面的距离分别大约是R、R，求此宇宙飞船运行的轨道方程．

153[思路点拨]

根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．

[精解详析]

如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x轴建立坐标系，且令地心F2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x轴上的x2y2椭圆的标准方程，不妨设为2＋2＝1(a>b>0)，则地心F2的坐标为(c,0)，其中aba2＝b2＋c2，

与椭圆相关的应用问题

则Ra＋c＝R＋，3Ra－c＝R＋，15

解得2c＝15R.6a＝R，5

6222642∴b2＝a2－c2＝5R－15R＝45R. ∴此宇宙飞船运行的轨道方程为

x2y2＋＝1. 362642RR2545[一点通]

解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a，b，c的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：(1)椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；(2)最后要将数学模型还原回实际问题作答．

7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km，月球的半径约是1 800 km，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．

解析：可设小椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，由已知得

2a＝1 700＋2×1 800＋200，

∴a＝2 750. 又a＋2c＝1 700＋1 800，∴c＝375. c3753∴e＝＝＝. a2 750223答案：

228．已知某荒漠上F1、F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km. (1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；

(2)问农艺园的最大面积能达到多少？

解：(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(－1,0)，F2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)，

则由已知得PF1＋PF2＝4. 由椭圆定义知点P在以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a＝2，c＝1，则b＝3.

x2y2∴P点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)，

43同理Q点轨迹方程同上．

(2)S▱PF1QF2＝F1F2·|yP|≤2c·b＝23(km2)，

所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为23 km2.

1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．

2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．

3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论．

[对应课时跟踪训练(九)]

x2y21．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，Pab是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．

解析：法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率ec2c|F1F2|3m3＝＝＝＝＝. a2a|PF1|＋|PF2|2m＋m3b2法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所ab2b2以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·，变形可得3(a2－c2)＝2ac，aa等式两边同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝答案：3

33或e＝－3(舍去)．

312．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的2方程是________________________________________________________________________．

c＝1，c1xy解析：依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以a＝2，abc＝a－b，2222222

解得a2＝4，b2＝3.

x2y2答案：＋＝1 43x2y2x2y23．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的________相等．(填“长轴长”或“短25925－k9－k轴长”或“离心率”或“焦距”) 解析：c2＝25－k－(9－k)＝16，c＝4. 故两条曲线有相同的焦距．

答案：焦距

x2y264．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交ab3椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．

解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，

22b2x222bx1则y＝b－2，y1＝b－2. aa22y－y1y＋y1y2－y2b2c21所以k1·k2＝·＝＝－2＝2－1 aax－x1x＋x1x2－x211＝e2－1＝－，

31即k1·k2的值为－. 31答案：－

3x2y23a5．设F1，F2是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△ab2F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率是________．

3a解析：设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°. 23a由题意知，F1F2＝PF2＝2c，F2M＝－c. 213a在Rt△PF2M中，F2M＝PF2，即－c＝c. 22c3∴e＝＝. a43答案：

435 36．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率e＝，经过点A(，－2)，求椭圆的标准方程．

52解：设椭圆的标准方程为

x2y2754＋＝1.①

2＋2＝1(a>b>0)，则ab4a2b2

3c33由已知e＝，∴＝，∴c＝a. 5a55316∴b2＝a2－c2＝a2－(a)2，即b2＝a2.②

525754×25把②代入①，得2＋＝1，

4a16a2x2y2解得a＝25，∴b＝16，∴所求方程为＋＝1. 2516227．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝长、焦点坐标、顶点坐标．

x2y2解：椭圆方程可化为＋＝1，

mmm＋3m由m>0，易知m>，

m＋3m∴a2＝m，b2＝. m＋3∴c＝a2－b2＝由e＝3，得

2mm＋2. m＋3m＋23＝，解得m＝1，

m＋3223，求m的值及椭圆的长轴和短轴的2y2∴椭圆的标准方程为x＋＝1. 1413∴a＝1，b＝，c＝. 22∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，

两焦点坐标分别为F1－33，0，

，0，F222110，－，B20，. 顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1228．若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．

x2y2解：令x＝－c，代入2＋2＝1(a＞b＞0)，

abc2b4b2得y＝b(1－2)＝2，∴y＝±. aaa22b2设P(－c，)，椭圆的右顶点A(a,0)，上顶点B(0，b)．

a

b2b∵OP∥AB，∴kOP＝kAB，∴－＝－，

acac2∴b＝c.而a2＝b2＋c2＝2c2，∴a＝2c，∴e＝＝. a2又∵a－c＝10－5，解得a＝10，c＝5，∴b＝5，

x2y2∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 105