3.1.2 共面向量定理优秀课堂实录

3.1.2

共面向量定理

教学目标：

1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；

2．能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．

教学重点：

共面向量定理的理解．

教学难点：

运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．

教学方法：

新授课、启发式一一引导发现、合作探究．

教学过程：

一、问题情境

怎样的向量是共面的向量呢？

在平面向量中，向量b与向量a（a≠0）共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa．那么，空间任意一个向量p与两个不共线的向量a，b共面时，它们之间存在什么样的关系呢？

二、学生活动

1．自己作图，通过长方体体验并归纳什么是共面向量．

2．通过类比得出共面向量定理．

三、建构数学

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1＝AB，A1D1＝AD，而AB，AD，AC在同一平面内，此时，我们称AB，AD，AC是共面向量．

1

D1

A1

D A B B1

C1 C

1．

共面向量的定义．

一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量；

理解

（1）若a，b为不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的意义是（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不p在α内或p∥．一定共面了．

2．共面向量的判定．

平面向量中，向量b与非零向量a共线的充要条件是b＝a，类比到空间向量，即有：

共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x＋yb．这就是说，向量p可以由不共线的两个向量a，b线性表示．

四、数学运用

1．例题．

例1

如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分11BMBD,ANAE．

别在对角线BD，AE上，且33求证：MN∥平面CDE F N A D M E B C

2

21证明：MN＝MB＋BA＋AN＝CD＋DE

33

又CD与DE不共线

根据共面向量定理，可知MN，CD，DE共面．

由于MN不在平面CDE中，所以MN∥平面CDE．

例2

设空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足向量关系OP＝xOA＋yOB＋zOC（其中x＋y＋z＝1）

试问

P，A，B，C四点是否共面？

解

由OPxOAyOBzOC可以得到APyABzAC

由A，B，C三点不共线，可知AB与AC不共线，所以AP，AB，AC共面且具有公共起点A．从而P，A，B，C四点共面．

推论

空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：MP＝xMA＋yMB，或对空间任意一点O有：OP＝OM＋xMA＋yMB．

2．练习．

（1）作业

课后练习1，2．

（2）已知非零向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D共面．

（3）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE＝kOA，OF＝kOB，OG＝kOC，OH＝kOD．

求证

①四点E，F，G，H共面；

②平面AC∥平面EG．

五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容：

1．了解共面向量的含义；

2．理解共面向量定理；

3．能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．

3