1.2.1 充要条件教学设计实例

充分条件与必要条件

教材分析

充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，这节内容被安排在高一第一学期第一章“集合与命题”的第二节。它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下坚实的基础。

学情分析

新教学大纲的教学目标是“掌握充要条件的意义”。从学生学习的角度看，学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。因此教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。 设计理念

数学知识来源于生活实际，生活本身又是一个巨大的数学课堂，我在教学过程中注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性，给数学找到生活的原型。我对本节课的数学知识结构进行创造性地“教学加工”，在教学方法上采用了“合作——探索”的开放式教学模式，使课堂教学体现“参与式”、

“生活化”、

“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化的发展。

教学指导思想

结合学生的实际情况及本节内容特点，我采用的是“问题教学法”，以探究式教学思想为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出结论，从而使学生获得新知识的同时又提高了能力

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解充分条件与必要条件的的概念，充分条件与必要条件的意义。

教学目标

重点：正确理解两个概念，并分析做出正确判断。

难点：充分性与必要性的推导顺序

知识点：正确理解充分条件、必要条件两个概念；能利用充分条件、必要条件两

个概念，熟练判断四种命题间的关系。

能力点：培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其

共性及个性。培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观

⑴ p：x=y；q：x2=y2. ⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等. 分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断. 解：⑴由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件. ⑵由pq，即三角形的三条边相等三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；

又由qp，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件. 练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷. 答案：⑴∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；

⑵∵qp，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；

⑶∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；

又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.

⑷∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；

又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件. 1.以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断. 2.利用逆否命题判断：即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”. 例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：

⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.

⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件. 解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. ⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件. 解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. ∵“B不为绿色

 A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. ⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件. 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

下面我们以例2为例来说明. 先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式. 再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p）的形式. 总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据. 例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想. 四、练习：

（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：

⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的

充分

条件；

⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的

必要

条件；

⒊“x3”是“|x|3”的

充分

条件；

⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的

充分

条件；

⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的

充分

条件；

⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；

⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的

必要

条件；

⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的

充分

条件；

⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的

必要

条件；

⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分

条件. 五、小结： 本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法. 判断充分条件与必要条件的依据是：

若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；

若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件. 六、作业：

1．课本P34-35内容，熟悉巩固有关内容. 2．设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？

解：由题意作出逻辑图（右图），便知，

D是A的必要条件；A是B的充分条件. 3．预习：课本P35-36内容. 七、板书设计

1.2.1充分条件与必要条件充分条件的概念： 练习：

必要条件的概念： 小结：

例1、例2 作业