3.4 生活中的优化问题举例优质课教案设计

实际生活中的优化问题

教学目标：

1．通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进

学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值．

2．通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．

教学重点：

如何建立实际问题的目标函数是教学的重点与难点．

教学过程：

一、问题情境

问题1

把长为60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时面积最大？

问题2

把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之各最小？

问题3

做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？

二、新课引入

导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数求最值的方法，可以求出实际生活中的某些最值问题．

1．几何方面的应用（面积和体积等的最值）．

2．物理方面的应用（功和功率等最值）．

3．经济学方面的应用（利润方面最值）．

三、知识建构

例1

在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

60 xx60

说明1

解应用题一般有四个要点步骤：设——列——解——答

．

说明2

用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极

值及端点值比较即可．

例2

圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才

能使所用的材料最省？

R h

变式

当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

说明1

这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数

．

说明2

用导数法求单峰函数最值，可以对一般的求法加以简化，其步骤为：

S1

列：列出函数关系式．

S2

求：求函数的导数．

S3

述：说明函数在定义域内仅有一个极大（小）值，从而断定为函数的最大（小）值，必要时作答．

例3

在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为．外电阻R为

多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？

说明

求最值要注意验证等号成立的条件，也就是说取得这样的值时对应的自变量必须有解．

例4

强度分别为a，b的两个光源A，B，它们间的距离为d，试问：在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a＝8，b＝1，d＝3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源的距离的平方成反比）．

例5

在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)；出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)；R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)．

（1）设C(x)＝10－6x3－0.003x2＋5x＋1000，生产多少单位产品时，边际成本C'(x)最低？

（2）设C(x)＝50x＋10000，产品的单价p＝100－0.1x，怎样的定价可使利润最大？

四、课堂练习

1．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成____和___．

2．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为

时，它的面积最大．

3．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？

4．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l＝AB＋BC＋CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b．

五、回顾反思

（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．

（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．

（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单

．

六、课外作业

课本第38页第1，2，3，4题．