等边三角形的判定教案（名师）

《等边三角形的判定》教学设计

咸阳天王学校 李荣杰

一、教材分析

本节内容为北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》的《1.1等腰三角形（第四课时）》，课时为1课时。

二、设计思路

1、指导思想

根据《数学标准》要求，本章主要培养和发展学生的推理能力，学习证明方法，培养数学思维能力。等边三角形的判定定理和含30°角的直角三角形性质定理是初中数学重要内容之一，是证明线段相等、角相等的重要方法，是今后学习是其它几何知识学习的奠定基础。

学生已经掌握了全等图形和等腰三角形的内容，这为探究新课做好准备；学生也基本具备了利用已知条件拼出三角形的能力，具备探索的热情和愿望，这使学生能主动参与本节课的操作、探究。本节课采用的教学方法是操作—研讨—探究式，整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、严密求证，令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。

本节课可以更多地让学生自主探索，但第一个定理证明中，需要分类讨论，注意揭示其中的分类思想；第2个定理结论比较特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结论，课堂上设计了一个学生活动，在活动的基础上“无意”中发现了其特殊的结论，这实际上也是一种数学发现的方法。

2、学情分析

学生的知识技能基础：在前两节课，学生已经经历了独立探索发现定理的过程，并能基本规范地证明相关命题，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。

学生活动经验基础:在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力。

3、教学目标

（1）知识目标：理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

（2）能力目标：经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、

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逆向思维的思想，提高学生的能力。

（3）情感目标：积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

4、教学重点与难点

【教学重点】①等边三角形的判定。

②含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明。

【教学难点】①运用两个定理进行相关问题的证明。

②引导学生全面、周到地思考问题。

5、教学方法：遵循启发式教学原则，采用探究发现法的教学方法

三、教学准备：投影仪、课件、圆规，两个带30度角的三角板

四、教学过程

本节课设计的教学流程：

问题设计，

导入新课 尝试诱导，发现定理 实际操作，证明定理 应用新知，解决问题 当堂检测，反馈教学 师生小结，归纳知识。

第一环节：问题设计，引入新课

教学内容：教师直接提出问题

1、等腰三角形有哪些性质定理和判断定理？

2、等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？

3、又如何判别一个三角形是等边三角形呢？

从而引入新课。

目的：开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。

探索问题：

[师]1、三角形两边相等再加什么条件可以成为等边三角形？

2、三角形两角相等再加什么条件可以成为等边三角形？

3、三角形三角相等是等边三角形？

4、三角形三边相等是等边三角形？

[生]1、等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形。

2、等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°．我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，等腰三角形就是等边三角形了。

教师抓住时机继续启发学生思维：

2

[师]1、你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗? 2、如果已知一个三角形是等腰三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？

把你的证明思路与同伴交流．(教师应给学生自主探索、思考的时间) 教学效果：对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，学生考虑分步进行，先确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。

第二环节：尝试诱导，发现定理

教学内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件。

目的：经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。

教学效果：总结定理

1、三个角都相等的三角形是等边三角形；

2、三条边都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

在学生得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，给与严格的证明。由于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分类讨论，因此，对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路。

第三环节：实际操作

证明定理 教学内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：

A探究思考：

A1、用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗？

2、等边三角形与含30°角的直角三角形与什么关系？

3、在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由。

目的：让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论。

教学效果：学生一般可以得出下面两种图形：其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生1也可以得出BD= AB，从而得出结论。

2教学过程中，要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在演示三角板，思考如

3 BD(1)CBD(2)C

何得到等边三角形？引导学生整理并展示自己的想法。

方法1：因为△ABD≌ACD，所以AB=AC．又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

方法2：图(1)中，∠B=∠C=60，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形。

教师板书证明该定理具体的说明过程：

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．

1求证：BC= AB．

2分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°. 延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图所示)．

∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°

∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．

∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．

∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．

11∴BC= BD= AB．

22第四环节：应用新知，解决问题 活动1：直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗?如果是，请你证明它。

师生共同分析证明思路，教师给出证明：

1已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= AB．

2求证：∠BAC=30°

证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC．

∴△ACB≌△ACD(SAS)．

∴AB=AD．

4 BCDAAABCBCD

1∵CD=BC，∴BC= BD．

21又∵BC= AB，∴AB=BD．

2∴AB=AD=BD，

即△ABD是等边三角形．

∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．

注意事项：该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可以给学生一些启示。

活动2 ：呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的定理解答例题。

[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长. 分析：观察图形可以发现在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一个外角，而∠DAC=×15°=30°，根据在直角三角形BACD中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD．

解：∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

11∴CD= AC=

×2a= a 22目的：在例题求解中巩固新知，加深对所学定理的理解，培养学生的几何书写能力。

第五环节：当堂检测，反馈教学

一、选择题

1．以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④三个角相等的三角形是等边三角形．其中正确的是(

) A．①②③

B．①②④ C．①③④

D．①②③④

2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12 cm，则AB等于(

)

A．6 cm 二、解答题

1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC

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B．7 cm C．8 cm

D．9 cm

于点F求证：BF＝2CF.

2．如图1－1－46，在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.

求证：(1)△ADC≌△BEA；(2)BP＝2PQ. 目的：通过对所学两个定理的应用，提升学生对新知的运用能力。

第六环节：师生小结，归纳知识

教师引导学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。

设计意图：回顾、总结、矫正、提高。学生自学形成本节课的知识结构。

第七环节：布置作业，巩固知识

作业：课本习题1.4第1,2题；拓展提高：课本第13页第3,4,5题；

绩优学案：1.1等腰三角形（第四课时）

五、教学反思

1、本节课，难点在于探究两个定理：“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”和“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂学生思维非常灵活，方法多样，取得较好的效果。可以使学生对证明的思考得到突破，从而寻找出合理的证明方向．这既使学生掌握了新知识，也培养了学生的学习数学的类比思想和观察、猜想的能力。

2．要鼓励学生敢于表述和善于纠错

含30°角的直角三角形的定理及其逆定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会．因此，应该让学生大胆表述，并对各人的表述严谨分析，找出漏洞，反复提炼，直至得出正确的说法。

3．注意改进的方面

在探索等边三角形的判定条件时应该利用问题串教学，达到高效教学设计要求。在灵活运用定理方面要加强训练，进一步规范几何书写。

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