正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教案1

24．3正多边形和圆 第一课时

桐木初中

刘呈芳

教

材

义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》九年级上册

本节课让学生通过自主探究经历一些数学活动分析数学问题，从而获得一些数学知识。在整个教学过程中，力求体现“学生是数学学习活动的主人”，引导他们从中感设计理念

受知识的形成与运用过程，在过程中发展学生分析问题、解决问题的能力。在学生的探索过程中，注重关注的是学生能否进行适当的归纳概括，有条理得表达自己的思考过程；能否能总结自己的探索过程，获得分析问题的经验。

学生已学过点与圆，直线与圆的有关知识，初步掌握了一点判断方法，为学习正多边形与圆的有关内容作好了准备。具备一定的归纳、猜想能力，但个别学生在理解、应用上还须借助老师、同学的帮助，通过教师的指导和同伴的帮助，也会有所收获。教学情师要给予个别关照以及适当的精神激励，让他们逐步树立自尊心与自信心，从而完成自分析

己的学习任务。九年级学生的思维以形象型为主，具备了抽象思维能力；仍然在一定程度困扰有好奇、好动的习性依存，因此，教学中尽量采用问题诱导和直观演示帮助学生逐步实现“直观感知——操作确认——简单说理——规范推理”攀升，加强图形、文字与符号语言的相互转换，使学生进一步加深理解并顺利渡过推理难关。

正多边形与圆是在点与圆，直线与圆的有关知识的基础上展开的，其主要内容是探索正多边形与圆的关系。本节共安排了四个探究活动，按照1个课时完成，为此，教科书以正多边形与圆的关系为载体，把生活中的图形与数学图形之间的联系形象的展知识分析

现，运用观察演示、操作确认、画图验证等手段，逐步探究出正多边形与圆的关系。本节所涉及的分类讨论思想和尝试法是重要的数学思想和方法，对学生的后继学习有重要影响，因此，本节无论是在知识传承还是在能力培养、乃至数学思想方法渗透上，都有着举足轻重的作用。

学习目标

知识与技能

1、了解正多边形和圆的关系，了解正多边形和边长，边心距，中心，中心角等概念

2、会应用正多边形的有关知识解决圆的有关计算问题

过程与方法

结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题

情感态度

与价值观

重点

难点

学生经历观察，发现，探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体现了事物之间是相互联系，相互作用的

探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算

探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角，弦心距，边长之间的关系

针对九年级学生的认知结构和心理特征，为了突出重点，突破难点，本课题的教教学方法

学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，以“引导——发现教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注。

学法指导

本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间。通过本课的教学，在教师的组织引导下，倡导学生自主学习、尝试学习、探究学习、合作交流学习。

教学资源

借助PPT软件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。

坚持“及时评价与激励评价相结合，定量化评价与定性化评价相统一”的原则，教学评价

最大限度地做到面向全体学生，充分关注学生的个性差异，将学生自评、生生互评和教师概括引领、激励测进式点评有机结合，既有即兴评价，又有概要性评价；既有学生的自评，又有师生、生生之间的互评，力求在评价中帮助学生认识自我、建立自信，使其逐步养成独立思考、自主探索、合作交流的学习习惯。引导、讨论教学法．

活动流程

活动1创设情境，导入新课（约5—10分）。

活动2诱导尝试，探究新知（约10—20活动目的

复习旧知，提出正多边形与圆有那些关系，激发探究欲望。

让学生在实际操作中探索正多边形与圆的关系。

通过练习，对所学的知识和所获得的方法进行巩固运用、补充。

教

学

流

程

分）

活动3变式运用，巩固新知。

（约7——12分）

活动4全课小结，归类细化

将知识归类细化，纳入已有的知识体系。

（约7——12分）

活动5 推荐作业，深化新知

（约4分）

分层布置作业，体现“不同的人在数学中得到不同的发展”

教 学 程 序

问题与情境

活动一 创设情境，导入新课

问题：

观看下列美丽图案，回答问题：

（1）这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到利用正多边形得到的物体。你能从这些图案中找出正多边形来吗？

（2）什么叫正多边形？

（3）从你身边举两三个正多边形的实例，正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？他的对称轴有几条？对称中心是那一点？

（4）你知道正多边形与圆有什么关系吗？

活动二 诱导尝试，探究新知

一、正多边形和圆的关系

问题1：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正五边形吗？如果是证明你的结论。

一、正多边形和圆的关系 在活动1中学生教师演示作图：把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五变形。

教师引导学生从正多边形的定义入手证明（即证明多边们发现了正多边形与圆有着密切的关系，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这师生互动

教师演示图片，提出问题，设计意图

结合美丽的图让学生观察图案，回答问题。

片，欣赏生活中正教师重点关注：在问题（1）中，学生能否找出正多边形；（2）能否发现正多边形与圆的关系

教师出示问题（2）（3），学生复习回忆。

多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受数学美。

通过有针对性地复习，为本节课学习扫除障碍。

问题2：如果将圆n等份，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？

形各边都相等，各角都相等），个圆的内接正多边引导学生观察，分析，教师带领学生完成证明过程。

在问题（1）中，教师应当重点关注：

（1）学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边。进而证明五边形的各边相等；

（2）学生能否观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；

（3）学生能否发现每一个圆形。活动2的设计就是要学生在教师的指导下进行逻辑推理论证所发现的1结论的正确性。从而培养学生科学严禁

的治学态度，和运用所学知识解决问题的能力。

问题（2）的设周角所对弧都是三等份的弧；

计是将结论由特殊（4）学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形，

教师提出问题（2），学生思考，同学间交流，回答问题。教师根据学生的回答给以总结。

问题（2）中，教师应当重点关注是否会仿造证圆内接正五边形的证明圆内接正n推广到一般。这符合学生的认识规律。并教给学生一种研究问题的方法。

问题（3）的提出是为了巩固所学知识，使学生明确怕不断圆内接多边

问题3：

各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么。如果不是，举出反例。

二.

正多边形的有关概念：

学生先看书（教材105页，图24.3-3）理解概念。

中心、半径、中心角、边心距；

三. 正多边形有关的计算：

（1）正多边形的内角:

(n2)180内角n边形。

教师提出问题（3），学形是正多边形，必须满足各边都相生讨论，思考回答，教师讲评。

等，且各内角都相 在问题（3）中，教师应当重点关注：

（1）学生能否利用正多边形定义进行判断；

（2）学生能否由圆内接多边形各边相等，得到弦相等及弦所对的弧相等，进而证明等，这两个条件缺一不可。同时教给学生学会举反例，培养学生思维的批判性。

圆内接多边形的各内角相等；

（3）学生能否举出反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形。

二、正多边形的有关概念

教师提出正多边形的有关概念，结合图形让学生认识。

教师让学生探究正多边形有关的计算，学生讨论完成。

正多边形的半径:

外接圆的半径为R 正多边形的边长为a

（2）正多边形的中心角:

中心角360n

（3）正多边形的面积：

11Sn(ar)Lr22（4）正多边形的边心距：

活动三

变式运用，巩固新知

学生看图（教科书图24.3-3），理解概念，

例1 完成下表中有关正多边形的计算：

教师演示课件，给出正多例题1，2是有边形的中心，半径，中心角，关正多边形计算的边心距等概念。

教师引导学生画出正六边形图形，进行分析，完成例1的解答。总结这一类问题的求解方法。

对于例1，教师应当重点关注：

（1）学生能否知道欲求具体应用，目的是让学生在了解有关正多边形的概念后，通过例题的练习，巩固所学到的知识。

学生在教师的引导下，将正多边形的中心，半径，中心角，边心距等一些量集中在一个三角形中来研究，即将正多边形的中心与顶点连接起来，将正多边形分割成n个全等的等腰三角形，让学生们发现每个等腰三角形的顶角为中心角，腰为半径，底边为边长，底边上的高为边心距，可以利用勾股定理进

例2有一个亭子（如教科书图24.3-4）它的地基是半径为4m的正六边地基的周长和面积，需要先求六边形的边长和边心距；

（2）否将学生能否知道正六边形的边长，半径和边心形，求地基的周长和面积（精确到0.1m）

距集中在一个三角形中来研

形的中心与顶点连接起来，将正六边形分割成6个全等的等腰三角形，去发现每个等腰三角形的顶角就是中心角，腰是半径，底边是边长，底边上的高是边心距，从而能求得正多边形的周长和面积。

教师让学生独立完成例究；

（3）学生能否将正六边题2，教师巡视，个别辅导，行计算。进而能够给出正确答案，

求得正多边形的周长和面积。教师引

导学生

将实际问题化归成三角形来解决。

体现了化归思想在解题中的应用。

活动四

全课小结，归类细化

这节课你有哪些收获？还有什么困惑？

活动四

推荐作业，深化新知

习题24.3的3，5，6题

学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善，教师重点关注不同层次的学生对本节知识的理解，掌握程度。

学生独立完成，教师批改，总结，教师重点关注：

（1）作业中反应出的问题，有针对性的给予分析；

（2）学生面对探究性问题的解决方法。

正多边形和圆

板

书

一、

情境引入

设

计

二、

自主探究

1. 探索发现

2. 验证结论

3. 正多边形的有关概念

三、

巩固训练

例题

五.布置作业

4. 正多边形的有关计算

师生小结

四、

总结提高

了解教学效果，及时调整教学。

通过对实际问题的探究，完成从具体到抽象到具体的思维螺旋上升过程，形成应用数学的意识，加深对本节知识的理解。