8.2 消元——二元一次方程组的解法优秀教案内容

七年级数学·下 新课标[人] 8.2

消元——解二元一次方程组

掌握代入法和消元法两种基本的解二元一次方程组的方法.

通过类比、转化的思想帮助学生领会解方程组的基本思路.

培养学生通过探索尝试解决问题的意识.

【重点】

代入法、加减法解二元一次方程组.

【难点】

选用灵活的方法解二元一次方程组.

第课时

用代入消元法解二元一次方程组.

理解代入消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法.

向学生渗透转化的数学思想,培养勇于克服困难的思想意识.

【重点】

用代入消元法解二元一次方程组.

【难点】

代入消元法的基本思想.

【教师准备】

例题演示的详细板书.

【学生准备】

复习二元一次方程组解的概念.

导入一:

体育节要到了.拔河是七年级(1)班的优势项目.为了取得好名次,他们想在全部22场比赛中得到40分.已知每场比赛都要分出胜负,胜队得2分,负队得1分.那么七年级(1)班应该胜、负各几场? 你会用二元一次方程组解决这个问题吗? 根据问题中的等量关系设胜x场,负y场,可以更容易地列出方程组可以求得二元一次方程组的解呢? [设计意图]

导入情境是学生喜闻乐见的体育活动,可以增强学生的求知欲,使学生对所学知识产生亲切感.

那么有哪些方法导入二:

在8.1节中我们已经看到,直接设两个未知数:胜x场、负y场,可以列方程组

表示本章引

言问题中的数量关系.如果只设一个未知数:胜x场,那么这个问题也可以用一元一次方程2x+(10- x)=16来解.

思路

上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?

[设计意图]

比较方程2x+(10- x)=16和方程组

之间的关系,是引入代入法的关键所在.

一、代入法

[过渡语]

(针对导入二)建立二元一次方程组求未知数,目的是求适合两个方程的未知数,也就是说两个方程的未知数取值是一样的.我们从这个认识出发,探究怎样解二元一次方程组? (1)消元思想.

问题1 能否借助于一元一次方程解二元一次方程组? 〔解析〕

我们发现,二元一次方程组中第一个方程x+y=10可以写为y=10- x.由于两个方程中的y都表示负的场数,因此我们把第二个方程2x+y=16中的y换为10- x,这个方程就化为一元一次方程2x+(10- x)=16.解这个方程,得x=6.把x=6代入y=10- x,得y=4.从而得到这个方程组的解.

问题2

在上面的方程组中,第一个方程x+y=10是否可以写为x =10- y,然后再把x=10- y代入到方程2x+y=16中? 〔解析〕

从思路上讲,问题1和问题2的思路是一样的,只是选择哪个字母代入的问题.

总结:二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数,然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.

(2)代入法.

问题3 在上述的消元过程中,是怎样实现消元的?这种消元的方法叫什么? 总结:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法.

二、例题讲解

用代入法解方程组

〔解析〕

方程①中x的系数是1,用含y的式子表示x,比较简便.

解:由①,得x=y+3③,把③代入②,得3(y+3)- 8y=14.解这个方程,得y=- 1.把y=- 1代入③,得x=2.所以

这个方程组的解是

-

追问1:把③代入①可以吗?试试看.

提示:不可以,因为方程③是由方程①变形而来的,把③代入①后,只能得到一个恒等式.

追问2:把y =- 1代入①或②都可以吗? 提示:可以.二元一次方程组消元后化为一元一次方程,求出一个未知数的解,代入方程①、方程②或方程③都可以求出另一个未知数的值,但代入变形后的方程③更简便一些.

[知识拓展]

1.当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时,用代入法比较简单.

2.若方程组中未知数的系数为1(或- 1),选择系数为1(或- 1)的方程进行变形,用代入法也比较简便.

3.如果未知数系数的绝对值不是1,一般选择未知数系数的绝对值最小的方程变形.

(补充)用代入消元法解方程组

-

-

〔解析〕

求方程组的解的过程叫做解方程组.由方程组的解的概念,可知解方程组

就

是要求出同时满足此方程组中的两个方程的x和y的值.

解:由①得x=y- 5.③

把③代入②,得3(y- 5)+2y=10,解这个一元一次方程,得y=5,把y=5代入③,得x=0,所以原方程组的解为

[知识拓展]

用代入消元法解二元一次方程组时,一般用含一个未知数的代数式表示另一个未知数,但并非绝对.如解方程组由①得2x- 3y=2③,将③代入②得 +2y=9,解得

y=4,再将

y=4代入③得2x- 3×4=2,解得x=7,故方程组的解为

这种整体代入的方法显然比常规方法简单很多,

但无论是用哪一种方法进行代入消元,都应该达到同一个目的——消元.

代入法解二元一次方程组的一般步骤为: (1)从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数,例如y,用含x的式子表示出来,也就是化成y=ax+b的形式; (2)将y=ax+b代入方程组中的另一个方程中,消去y,得到关于x的一元一次方程; (3)解这个一元一次方程,求出x的值; (4)把求得的x值代入方程y=ax+b中(或方程组中的任意一个方程中),求出y的值,再写成方程组解的形式; (5)检验得到的解是不是原方程组的解.

1.把方程2x- 4y=1改写成用含x的式子表示y的形式是

.

解析:用含x的式子表示y,相当于把y看成未知数,把x看成已知数,解关于y的一元一次方程,结果为y= - .故填

y= - .

的解是

2.方程组

- A.

- C.

B.

D.

(

) 解析:将方程y=2x代入3y+2x=8得x=1,将x=1代入y=2x得y=2.故选B. 3.用代入法解方程组A.由①得x=B.由①得y=

-

-

代入后化简比较容易的变形是

(

) C.由②得x=D.由②得y=5x- 2 解析:根据代入法解方程组的方法结合方程组的特征即可作出判断.由题意得代入后化简比较容易的变形是由②得y=5x- 2.故选D.

4.用代入法解下列方程组:

-

-

(1)

(2)

-

-

解:(1) 把①代入②得3x- 2(2x- 3)=8,解得x=- 2.把x=- 2代入①得y=2×(- 2)- 3=- 7.所

-

以原方程组的解为

-

(2) 由①得x=y+3③,把③代入②得3(y+3)- 8y=14,解得y=- 1,把y=- 1代入③得x=2.所以原方程组的解为

-

第1课时

1.代入法

(1)消元思想

(2)代入法

2.例题讲解

例1 例2

一、教材作业

【必做题】

教材第93页练习第1,2题.

【选做题】

教材第97页习题8.2第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.用代入法解方程组

时,将方程①代入②中,所得的方程正确的是

(

A.3x+4y- 3=8 B.3x+4x- 6=8 C.3x- 2x- 3=8 D.3x+2x- 6=8 2.方程2x- y=3与3x+2y=1的公共解是

(

) A.

-

B.

-

C.

D.

-

3.若5x2ym与4xn+m- 1y是同类项,则m2- n的值为

(

) A.1 B.- 1 C.- 3 D.以上都不对

4.已知方程3x- 5y=2,用含x的代数式表示y,则y=

.

5.解方程组.

)

【能力提升】

-

6.方程组

的解为

(

)

A.

B.

C.

D.

7.用代入法解方程组A.3a=2×b+1 C.3a=2×a+1

以下各式中代入正确的是

(

)

B.3a=2×a+1 D.3a=2a×6a+1 (

)

-

8.关于x,y的方程组

的解是

则|m- n|的值是

A.5 B.3 C.2 D.1 9.用代入法解方程组.

-

(1)

(2)

-

【拓展探究】

10.已知关于x,y的方程组

求出x与y的关系式.

-

【答案与解析】

1.D(解析:

把①代入②得:3x+2(x- 3)=8,去括号得:3x+2x- 6=8.故选D.)

2.B(解析:联立方程2x- y=3与3x+2y=1,求得二元一次方程组的解为

故选B.)

-

3.B(解析:由题意得

解得

则m2- n=12- 2=- 1.故选B.)

-

4.y= - (解析:移项,得- 5y=2- 3x,系数化

1,得y= - .)

5.解:把①代入②得5x- 3×3=1,解得x=2.把x=2代入①得y=1.因此原方程组的解是

(2)由①得

x+3=3y,即x=3y- 3.③

由②得2x- y=4.④

把③代入④得y=2,把y=2代入③得x=3.因此原方程组的解

为

6.D(解析:

故选D.)

7.C(解析:由四个选项的特点可知,方程①变形代入②中,①可变形为b=,代入②得3a=2×+1.故选C.)

-

-

8.D(解析:把

代入

得

解得

所以|m- n|=|- 1|=1.或把

代入方程

组中的第二个方程x+my=n,解得m- n=- 1,所以|m- n|=1.故选D.)

由①得x=y+1,③

把③代入②得y=2,把y=2代入③得x=3,∴原方程组的解为9.解:(1)

(2)

由①得s=t③,把③代入②得t=

,解得

t=2,把t=2代入③得s=3.所以方程组的解为

由②得x=- 4y- 15③.把③代入①得3(- 4y- 15)- 5y=6,解得y=- 3,把y=- 3

-

-

代入③得x=- 4×(- 3)- 15=- 3.所以方程组的解为

10.解:由x+m=6得m=6- x,将m=6- x代入方程y- 3=m即可消去m,得到关于x,y的关系式为x+y=9.

本课时首先利用较多的时间帮助学生领会消元的思想,为学生学习解方程组做好思路的指导,加上例题的详细解题过程的演示,较好地实现了本课时的学习目标.

在用哪种方法进行代入的问题上,没有注意提示学生代入的方法是多种的,也没有注意比较各种代入方法中有简繁之分.

加强对学生解题过程的指导,示范学生在解题过程中要有明确的思路.补充的例题可以让学生与上一个例题进行比较,在比较的过程中发现解题的要领和共同之处.

用代入消元法解方程组

-

〔解析〕

先对第一个二元一次方程进行变形,用含x的代数式表示y,然后把此关系式代入第二个二元一次方程,把y用含x的代数式换掉,得到一个关于x的一元一次方程,解一元一次方程求得x的值,最后把x的值代入关于y的关系式中,求得y的值.

解: 由①可得y=3x- 7③,把③代入②得5x+2(3x- 7)=8,解得x=2,把x=2代入③得y=- 1,

由此可得二元一次方程组的解是

-

下列解方程组的步骤是否有错误?如果有,请指出来,并改正.

解方程组

解:由①得y=- 1- x.③

把③代入①,得x+(- x- 1)=- 1.

x- x- 1=- 1,0·x=0, C

所以x是任意实数.

D

同理,y也是任意实数.

所以这个方程组有无数个解.

A

B

E

解:解方程组的步骤是有错误的.错误开始于步骤B.因为利用代入消元法解二元一次方程组时,把其中一个系数较简单的方程变形为用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式,再代入到这个方程组中的另一个方程中去,而不能代入到变形前的那一个方程中去,例如本题中③是由①变形而来的,因此需把③代入②中,而非①中.改正如下:由①得y=- 1- x.③

把③代入②,得2x- 3(- 1- x)=8,解得x=1.把x=1代

入③,得y=- 2.所以原方程组的解为

-

23.解:(1)观察图形可知地面由四部分组成:卧室、厨房、客厅、卫生间,其面积分别为:3×(2+2)=12(m2),2×(6- 3)=6(m2),6x m2,2y m2,所以地面总面积为:12+6+6x+2y=6x+2y+18(m2). (2)由

-

题意,得

解得

地面总面积为:6x+2y+18=6×4+2×+18=45(m2),总费用

为:45×80=3600(元).答:铺地砖的总费用为3600元.

24.解:(1)设订男篮门票x张,乒乓球门票y张.由题意得

解得

答:小李可以订

男篮门票6张,乒乓球门票4张. (2)能,理由如下:设小李订男篮门票m张,足球门票n张,则订乒乓球门票(10- m- n)张.由题意得1000m+800n+500(10- m- n)=8000.整理得5m+3n=30,n= - .∵m,n

均为正整数,∴当m=3时,n=5,∴10- m- n=2.∴小李可以预订男篮门票3张,足球门票5张和乒乓球门票2张.∴小李的想法能实现.