等腰三角形的判定与反证法优秀教案设计

第3课时

等腰三角形的判定与反证法

么数量关系?

1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；(重点) 2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．

做一做：画一个△ABC，其中∠B=

C=30°，请你量一量AB与AC的长∠度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？

AB=AC 结论验证：

证明：

过A作AD平分∠BAC交BC于点D 在△ABD与△ACD中，

∠1=∠2，

∠B=∠C，

AD=AD, ∴

△ABD

≌

△ACD（AAS）

∴AB=AC

一、情境导入

思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？

用尺子测量后发现AB与AC相等. 如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

A 总结归纳

等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形. (简称“等角对等边”). 在△ABC中，

∴AB=AC(等角对等边).

BC

二、合作探究

建立数学模型：

已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什

辨一辨：如图,下列推理正确吗?

（等角对等边）

(等角对等边) 错，因为都不是在同一个三角形中. 典例精析

例1 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形.

证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA ∴△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）

∴AE=DE(等角对等边）

∴

△AED是等腰三角形. 例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB，AC上的点，且DE∥BC. 求证：△ADE为等腰三角形.

证明

∵AB=AC，

∴

∠B=∠C. 又∵

DE∥BC，

∴

∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴

∠ADE=∠AED. ∴△ADE为等腰三角形. 反证法

想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.

小明是这样想的:

如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C, 此时, AB与AC要么相等,要么不相等.

假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C, 但已知条件是

∠B≠∠C. “∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，

因此AB≠AC.

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．

用反证法证题的一般步骤

假设: 1. 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 例题讲解

例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC．

求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．

【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A,∠B,∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．

证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则

∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．

这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．

所以一个三角形中不能有两个角是直角．

1.已知:如图,∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°, ①∠1= , ∠2= ；

②图中有 个等腰三角形

③如果AD=4cm，则BC= cm ④如果过点D作DE∥BC,交AB于点E,则图中有 个等腰三角形.

三、板书设计

1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．

2．反证法

(1)假设结论不成立；

(2)从假设出发推出矛盾；

(3)假设不成立，则结论成立．

解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法.