2.1 圆设计意图

例谈《圆章头图导学课》教学设计

宿迁中学洋河分校 吴竞竞

【摘要】

章头图，就是在数学教材每一章的开头，它力图通过图文并茂的方式，揭示本章的学习内容、知识结构、思想方法等，同时也能让所需学习的知识与已学习的知识编织成环环相连的网络，在课堂上通过学生的动手操作，自己设计问题，自主探究，从而发现新的数学知识！

【关键词】 动手操作

自己设计问题

自主探究

发现数学

对于章头图导学课，相信大家都比较陌生，它力图通过短短的图文，揭示本章的学习内容、知识结构、思想方法等，那么，如何把这一张图与本章所有的知识点联系起来，又要在学生并未学习本章新知识之前，自己探索发现新的知识，无疑是我们教者该静下心来认真研究的。

一、初见“章头图导学课”

初次见到章头图导学课，早在2008年5月份，在第十届“五四杯”青年教师教育教学论文大赛颁奖大会期间（江苏省教育厅主办），符永平老师应主办方邀请，上了一节课改汇报课：一元二次方程章头图导学课，受到专家和听课老师的一致好评，其课型结构主要为“为什么要学这一章”“学什么”“怎么学”“如何培养学生的信心”等，这节课让我们“耳目一新”，用时也记忆犹新，于是便一直想着也尝试上一节章头图导学课，下面以《圆章头图导学课》为例，谈一谈我的想法和做法。

二、教材分析和设计创意

本节课是九年级上册第二章《对称图形--圆》的章头图，对于本章的知识点，归一下类，无非就是六大部分内容：1.圆的定义及相关概念；（通过画圆的过程，可以得到圆的描述性定义）2.圆的对称性；（通过把一个圆沿着直径翻折，即可得到圆的轴对称性；通过把一个圆绕着圆心旋转，即可得到圆的中心对称性）；3.与圆有关的计算；（通过翻折，除了得到线段相等、角相等、三角形全等外，还能生成新的知识：弧相等，引出弧的概念后，自然探讨弧长的求法，弧长的求法与圆的周长有关，由圆的周长自然想到圆的面积，圆的面积自然反过来想到扇形的面积）4.位置关系；（由弧的定义，找到关键词“圆上”，于是发现有的点在圆上，有的点不在圆上，进而得到点和圆的三种位置关系，此时还渗透了非常重要的贯穿本章的数学思想方法：数形结合思想和分类讨论思想，接下来由点和圆的位置关系，自然联想到直线和圆的位置关系）5.圆与多边形的关系。（在得到直线与圆的位置关系后，直线移动过程中必然出现两条直线都经过圆心，并互相

垂直的情况，此时依次连接四个与圆相交的点，必然得到一个正方形，顺理成章地得到了圆与多边形的关系）而刚才的所有内容，都是通过一个最基本的图形一步一步引申拓展的，而要得到这些结论，必然需要同学们动手操作，自主探究，从而发现新的与圆有关的知识。于是就有了如下的课堂：

三、教学设计和课堂实录

（一）创设情境，引入新课

师：（展示摩天轮）同学们，首先请看这张图片，你们觉得这张图片中最吸引你眼球的是什么呢？

生齐答:摩天轮。

师：是的，这是我们宿迁欢乐岛上的摩天轮，它是长三角地区最高的摩天轮，在世界排名第四，所以，趁着假期，同学们可以去玩一玩，领略它的美与壮观！（设计意图：以身边的摩天轮为例，让学生感受到真实，同时激发了学生探究的欲望）

师：再回到这张图，（用手比划）你们看到摩天轮，会回想起以前学过的什么图形呢？

生：圆。（教师板书：圆）

师：是的，那么，在现实生活中，你们还能举出哪些与圆有关的例子吗？

生1：车轮。

师：对！还有吗？

生2：呼啦圈。

师：对！还有吗？

生3：月饼；

师：应该是什么形状的月饼？

生3改正：圆形的月饼。

师：对！还有吗？

生4：太阳。

师：对！还有吗？

生5：月亮。

...（设计意图：再次让学生感受圆是生活中常见的图形）

（二）温故知新，定义引入

师：对！同学们列举出了很多生活中与圆有关的例子（展示幻灯片），是的，圆是生活中常见的物体，很多物体给我们以圆的形象！著名的希腊数学家毕达哥拉斯认为：在一切平面图形中，圆是最美的图案，既然圆那么美，你们会画圆吗？（设计意图：让学生学会欣赏，欣赏圆的美，从而有种迫切的愿望想把圆画出来）

生齐答：会！

师：那你们准备怎么画圆呢？

生：圆规！

师：其实画圆的方法有很多种，同学们之前都学过，既然大家异口同声地提到用圆规画圆，那么就请大家用圆规在刚才发的白纸上画一个圆，并把画好的圆剪下来。（设计意图：本节课就是试图通过多次翻折生成一系列的结论，剪下来才便于动手操作）

我请一位同学在黑板上画圆，请你！

生6：（在黑板上画出了一个圆）

师：画好圆并把圆剪下来的同学请举手示意我一下！

（等到所有同学都举手了再继续）

好！现在请刚才在黑板上画圆的同学说说你是怎么画出这个圆的？

（设计意图：让学生通过表达画圆的过程，自然而然地得到圆的描述性定义）

生6：把圆规的尖头作为圆心。

师：好，请把圆心用字母O来表示，接下来呢？

生6：把圆规拉开一段距离，圆规的尖头和笔头之间的距离作为半径。

师：好，请把半径画出来，另一端标上字母A。（用手示意这位学生在什么位置画） 我们可以把半径看做一条...? 生6：线段！

师：那么，请你把半径看做一条线段，描述一下你刚才画圆的过程吧！

生6：把一条线段OA绕着固定的短点O旋转一周，另一个短点A形成的图形叫做圆！

师：很好！请回到自己的位置上！其实同学们，这位同学不仅画出了圆，还得到了圆的描述性定义！为他点赞！（教师板演：1.圆的定义）

当然，前提条件是在一个平面内！

师追问：通过刚才画圆的过程以及圆的描述性定义，你们觉得画圆的关键是什么呢？

生7：圆心！

师：没错！圆心决定什么？（图1）

生7：圆的位置。 师：还有呢？

生7：半径！

师：没错！半径决定什么？

生7：圆的大小！

师：对！那么通过刚才圆的描述性定义，你们觉得圆是指圆周还是圆面？

生齐答：圆周！（设计意图：很多学生认为圆是圆面，此时通过圆的定义让学生明白：圆是指圆周）（如图1）

(三)巧用操作，性质呈现

师：是的，所以，刚才大家列举的例子只能说是与圆有关或给我们以圆的形象，而不能说整个物体都是圆。

接下来，我们再来看这个最基本的图形！由半径你们会想到什么呢？

生8：直径！

师：请你上黑板画一条与OA有关的直径吧。

生8上黑板画图：（如图2）（延长AO，画出一条直径AB）（图2）

师：其实一个圆有多少条直径？

生齐答：无数条！

师：没错！我们现在画的是与OA有关的直径。

师追问：那么由直径我们会想到什么呢？仍然请你回答。

生8：把这个圆沿着直径翻折！

师：很好！请回到自己的位置上！

同学们，请把手中的圆形纸片沿着直径AB翻折，你们发现了什么？

生9：直径两旁的部分能完全重合！

师：没错！这说明什么？

生9：说明它是一个轴对称图形！（设计意图：由半径自然想到直径，由直径自然想到翻折，由翻折自然想到轴对称性，从而得到圆的很重要的性质：对称性）

师：很好！（师板演：2.圆的对称性：（1）轴对称图形；）

接下来，我在圆上任点一个点C，我们再把这张圆形纸片翻折，你们又能发现什么呢？

生10：能找到点C的对称点D。

师追问：接下来你准备怎么操作？ （图3）

生10：连接CD！

师继续追问：连接CD能得到什么结论？

生10：AB垂直平分CD。 师：很好！这是根据什么知识一步到位的？

生10：以前学过的轴对称的知识。（如图3）

师：很好！我们通过翻折，找到了点C的对称点D，再连接CD，（课件演示这个过程，设计意图：形象生动，给学生直观的感受），根据圆的轴对称性，直接得到AB垂直平分CD。

同学们，此时，黑板和课件上同时出现了一个图形，你们能从书本上找到这张图吗？找找看这张图在书本的什么位置第一次出现？（设计意图：让学生惊喜的发现：原来大家通过动手操作、自主探究发现的图形是本章开头的章头图，感受惊喜的同时增加了信心）

（学生翻书寻找）

找到了吗？

生11：找到了？

师：在哪里？

生11：书本第二章开头。

师：很好！这张图在书本第二章开头第一次出现，我们把这张图叫做章头图。

(图4) （师板演：接着之前写的“圆”后面补充“章头图”）（图4）

同学们，其实章头图是编教材的老师经过很长时间的探讨研究，最终确定下来的，而我们的同学花了这么短的时间就得到了这张图片，你们和编教材的老师想到一块儿去了，真的非常不错！（设计意图：这是给予学生们的最高评价，编教材的老师对于所有学生，包括所有老师来说都是高深莫测的，而让学生认为他们自己在编写着教材，和编教材的老师有相同的想法，无疑是最大程度上增加了学生的信心，对于接下来的学习也是很有帮助的）

师：同学们，我们回到这个图形，请同学们再次通过翻折，继续发现“还有哪些相等的量？”

生12：AC=AD,BC=BD,OC=OD. 师：还有吗？

生12：CAPDAP,ACPADP,ACBADB,ABCABD,

ACOADO,AOCAOD,COPDOP,OCPODP,

BCPBDP,OCBODB...

师：很好！这位同学不仅找到了相等的线段，还找到了相等的角，除此之外，还有吗？

生12：还有三角形全等。

师：请你具体说说有哪些三角形全等？

生12：ACPADP,ABCABD,AOCAOD,OCPODP,

BCPBDP,OCBODB...

师：非常好！这位同学还得到了三角形全等，全等也是本章解决与圆有关的问题的关键！（设计意图：渗透章节之间的联系，提醒学生在解决本章问题时可以用三角形全等来解决）再次请问这位同学，你是通过什么得到这么多结论的呢？

生12：通过翻折！

师：很好！也就是通过...？ （图5）

生12：圆的轴对称性！（如图5）

师：很好，给你点赞！

如果此时我们知道圆的半径，也知道点O到CD的距离，那么能求出CD的长度吗？

生13：能！在直角三角形COP中，根据勾股定理，求出CP的长，而CD是CP的2倍，就求出了CD的长度！

师：非常好！其实在学习圆这章的内容时，刚才提到的三角形全等和勾股定理，都是解决问题的“法宝”，会经常用到的。（设计意图：提醒学生在解决本章问题时可以用到的两个非常重要的已学知识）

(四)再用操作，新知续现

师：同学们，接下来，请再次把你们手上的圆形纸片沿着直径AB翻折，还能发现什么？

生14：（用手比划）不好表达。

师：不好表达，那就也请到黑板上来展示一下吧！

生14:(继续用手比划)这部分。（学生未学过“弧”，所以这位学生不知道怎么表达）

师：这位同学不知道怎么表达，那么大家一起帮帮忙，给这个部分起个名字吧！

生：弧！（设计意图：请同学帮忙，可以让学生在课堂中感受同学之间的友情与合作精神）

师：是的，没错！我们把圆上两点间的部分叫做弧。

那你能用一个符号来表示这条弧吗？就像三角形有三角形的符号，平行四边形有平行四边形的符号一样。

生14:（画出弧线）

师：很好！很形象！事实上确实应该这么表示！那么请你把这个结论写下来吧。

⌒⌒⌒⌒生14：（板演：AC = AD ,BC =BD .）

师：很好！我们可以读作：弧AC等于弧AD,弧BC等于弧BD. 师追问：提到弧，你会想到什么？（设计意图：让学生自己提出问题，自己设计问题）

生14：求弧长。

师：很好！那你觉得怎么求弧长呢？以弧AC为例吧。

生14：把一根绳子一端固定在点A,绕着这条弧转一下，标上另一端点C，再把这条绳子拉直，量出长度。

师：可以的，这个方法很不错，那你觉得这种方法有什么弊端吗？

生14：考试时不易操作。

师：还有呢？

生14：会有误差。

师：很好！那你能想到其他更好的解决办法吗？

生14：可以先求出AOC的度数，用这个角的度数除以360°，再乘以圆的周长。

师：思路很好！就是把弧长转化为圆的周长。那么，由圆的周长，你又会想到什么？

生14：圆的面积！

师：很好！由圆的面积你又会想到求什么？

生14:扇形的面积（用手比划了一下扇形AOC）。

师：你为什么把这部分直接起名为扇形呢？

生14：因为它像扇子！

师：可是有的扇子不是这个形状的，那么，请再给我一个理由吧。

生14：以前学过扇形统计图。

师：很好！联想到以前学过的扇形统计图的知识了。没错，我们把一个平面内，一条弧以及经过这条弧的短点的两条半径组成的图形叫做扇形。那么，如何求它的面积呢？（设计意图：弧长转化为圆的周长去求，再由圆的周长想到圆的面积，由圆的面积再求扇形的面积）

这样，为了考一考你刚才讲的新知识同学们有没有听懂，你随机提问一个同学吧。（设计意图：学生提问学生的方式，一方面是增加学生之间的交流，一方面增加学生的信心，当回小老师，这种经历学生还是很惊喜的）

生14：好的！（指了一位学生）

生15：仍然用AOC的度数除以360，再乘以圆的面积，就求出了扇形AOC的面积。

师：很好！教的同学教的好，听的同学听的也认真，真不错！

其实同学们在不知不觉中又得到了与圆有关的计算。（师板演：3.与圆有关的计算；）

接下来，我们再回到这张图，继续探究。

刚才我们讲到一个新的名词“弧”，那么同学们还记得我是如何定义的吗？

生：圆上两点间的部分。

师：很好！那么你们觉得在这个定义中，关键词是什么呢？

生16：圆上！

师：很好！那么你又发现了什么？

生16：有的点在圆上，有的点不在圆上。

师：哪些点在圆上，那些点不在圆上呢？

生17：点A、点C、点B、点D在圆上，点O、点P不在圆上。

师：不在圆上，在哪里呢？

生17：在圆里面。

师：还可以有更简单的说法吗？

生18：在圆内。

师：既然有的点在圆上，有的点在圆内，那必然会有一些点在哪里呢？

生齐答：在圆外。

师：很好！那么问题来了：如何判断一个点到底在圆上、还是在圆内、还是在圆

外呢？

（设计意图：为了让学生通过本题，得到两个非常重要的数学思想方法：分类讨论思想和数形结合思想，这也将是贯穿本章的数学思想方法）

大家互相讨论一下。（1分钟左右）（教师板演：4.位置关系：（1）点和圆的位置关系；）

有答案了吗？

生齐答：有了！

师：我请一位同学说一说吧。（幻灯片显示）

生19：比如图中的点C，把点C和圆心连接，把这个距离和半径进行比较，如果d=r,则点c在圆上；比如图中的点P,把这个距离和半径进行比较，如果dr,则点Q在圆外。

师：很好！完全正确！（如图6）

（图6）

师追问：由点和圆的位置关系，又能想到什么呢？

生：线！

师：没错！由点和圆的位置关系，可以想到直线和圆的位置关系，那么直线和圆有哪几种位置关系呢?我们以CD为例，此时CD与圆有几个公共点？

生20:2个。

师：接下来我们可以把这条直线...? （有的学生说向下平移，有的学生说向上平移。）

都可以。如果把直线CD向下平移，会怎么样呢？（教师课件展示）

生：有1个交点。

师：再向下呢？

生：没有交点。

师：如果向上平移呢？

（教师在黑板上用尺演示，随着尺子移动，学生再次分别得到直线与圆的三种位置关系）

（教师板演：（2）直线和圆的位置关系。）（如图7）

（图7）

师：如何判断直线和圆的位置关系，我们将留作学习这一课时时再共同探究。

接下来，请同学们回忆刚才的直线CD平移的过程，你们觉得有没有特殊的位置？

生21：直线CD经过圆心时比较特殊。

师：为什么特殊？

生21：此时线段AB和线段CD互相垂直平分且相等。

师追问：那么你现在最想做什么呢？

生21：连接AC,CB,BD,DA. 师：能得到什么结论？

生21：四边形ACBD是正方形。（设计意图：由直线平移的过程中一个特殊情况，巧妙得到圆与正方形的关系）（如图8）

（图8）

师：非常好！其实这位同学不知不觉中得到了圆与正方形的关系，其实圆除了与正方形有关外，它还与三角形、四边形、五边形等其他的一些多边形有关，这在今后我们也会具体的去探究。

同学们，由于时间关系，本节课已经接近尾声了，那么你们觉得黑板上还有遗憾吗？

生：有！

师：遗憾在哪里呢？

生22：在板书的第2点，缺少“中心对称图形”。

师：很好！那么圆是中心对称图形吗？

生22：是的！

师：为什么呢？

生22：因为把一个圆绕着圆心旋转180°能和自身完全重合。

师：是的，很好！其实把圆绕着圆心旋转任意一个角度都能和自身完全重合，当然，旋转180°也能和自身完全重合！

（师板演：（2）中心对称图形。）

（设计意图：留下一份遗憾，让学生去补充，体验“圆满”的主题）

师:好!那么到此为止，同学们本节课学什么了？

生23：学了圆的定义，圆的对称性，与圆有关的弧长、扇形面积的计算，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和多边形的关系。

师：很好！这些都是本章的知识框架，具体的内容会在本章每一课时里具体探讨。

那么，我们本节课是如何通过这个最基本的图形得到这么美的图案，和这个知识框架的呢？也就是我们是“怎么学”的呢？

生24：自己探究发现的！

师：很好！（师板演：怎么学？1.自己探究发现；）

生25：自己动手操作！

师：很好！（师板演：2.自己动手操作；）

生26：自己设计问题！

师：很好！（师板演：3.自己设计问题；）

师：那么，本节课是通过哪些数学思想方法来学习的呢？

生：数形结合思想，分类讨论思想。

师：很好！这两种数学思想方法也将贯穿本章！（师板演：4.数学思想方法：（1）数形结合思想；（2）分类讨论思想。）

师：同学们这节课的表现非常的出色，老师也想送一段话给大家：（课件展示）

定义是我们给的！

对称性等结论是我们发现的！

我们编写着教材！

我们设计着问题！

我们迎来朝阳！

我们送走落日！

我们只要像今天这节课一样充满信心地去思考、去学习、去探究，一定能创造圆满人生！

（设计意图：太阳本身就给我们“圆”的形象，“圆满”两个字中也有一个“圆”字，作为首尾呼应、课末点题）

师：下课！

生：起立！

师：同学们再见！

生：老师再见！

四、教学反思

本节课结束了，我想，这节课，对我和学生们来说都是记忆犹新的。圆是一种常见的平面图形，也是一种常见的曲线图形。小学阶段，学生从学习直线图形到学习曲线图形，无论是内容本身还是研究问题的方法都有所改变，尤其是借助直线图形研究曲线图形的思维方法，对小学学生来说是一个飞跃。小学在处理这个问题时，往往先借助实物让学生充分感知“圆”，让学生感受到圆与现实生活的密切联系（因此，和小学类似，本节课从摩天轮开始，引出“圆”，再让学生列举出现实生活中与圆有关的物体），再引导学生用各种方式画圆，初步感受圆的特征，并掌握用圆规画圆的方法（本节课，在这个环节的处理上与小学不太一

样，由于小学已经学过用圆规画圆，因此，本节课，在画圆这个环节，中学生首先想到的就是直接用圆规画圆），在此基础上，再引导学生通过折一折、画一画、比一比、量一量等活动帮助学生进一步认识圆心、半径、直径等概念，探索、发现圆的基本特征（本节课仍然把“翻折”作为贯穿本节课的一个重要环节，在小学的基础上得到与圆有关的其他新知识）。(图9) （图9）（小学）

其实，章头图就是要通过一张图片把本章的知识框架、思想方法等呈现出来，同时让学生明白学什么？怎么学？这不仅是本节课要探究的问题，更是贯穿本章的主心骨！仿照符老师的课堂，便有了本节《圆》章头图导学课。通过这节课，我明白了：在备课时，我们除了要了解学生感兴趣的听课方式是什么?（比如本节课的动手操作）还要了解学生已有的知识背景、生活经验、已有的数学思想方法基础、最近发展区、思维的深度和广度等，当然，我们也可以在上课之前和学生多做交流，平时和学生多接触多谈心，多走进学生中去，这样，才能真正的了解学生，真正的“备学生”。

通过认真的备课，精心的设计，使课堂贴近生活，富有活力的同时，层层深入，抽丝剥茧，让学生自主探究，自己设计问题，自己发现结论，“把冰冷的美丽化为热情的思考”！真正的从数学学习的角度“走进学生心里”，相信我们的数学课堂必然可以“破茧成蝶”！

附板书设计：

圆章头图导学课

学什么？ 怎么学？ 1.圆的定义及相关概念； 1.自己探究发现； 定义是我们给的！ 2.圆的对称性： 2.自己动手操作； 对称性等结论是我们发现的！

（1）轴对称图形； 3.自己设计问题； 我们编写着教材！

（2）中心对称图形。 4.数学思想方法： 我们设计着问题！ 3.与圆有关的计算； （1）数形结合思想； 我们迎来朝阳！

4.位置关系： （2）分类讨论思想。 我们送走落日！ （1）点和圆的位置关系； 我们充满信心！

（2）直线和圆的位置关系。 创造圆满人生！5.圆与多边形的关系。