12.2 证明ppt配套的教案及板书设计

12.2 证明（第一课时）

昆山市新镇中学 程诗行

一、教学内容

通过生活、数学中的具体实例，引导学生经历观察、猜想、实验操作等环节，让学生感受到由认识事物的这些基本手段所得的结论的正确性有待验证，合乎逻辑的推理证明是必要的

二、教材分析

本课是苏科版七年级下册第十二章第二节的内容，在学习完定义与命题的相关知识后展开，为后续几何和代数的证明打好方法、书写格式等方面的基础

三、学情分析

先前学生从未接触过证明，本课的学习显得尤为重要，通过本节课要让学生认识到证明的意义与必要性，感受数学的严谨性和数学结论的正确性

四、教学目标

1.知识与技能：总结人们认识事物的基本手段：观察、猜想、实验，感受到数学结论证明的必要性；了解证明过程的不同表达形式；能简单进行证明

2.过程与方法：经历观察、实验、归纳、类比等数学活动、体验数学证明的过程，对证明方法有初步的了解

3.情感、态度和价值观：感受数学的严谨性，感悟演绎推理的逻辑要求，树立言之有理、落笔有据的推理意识，发展有条理的思考和表达能力

五、教学重难点

重点：掌握认识事物的基本方法：观察、猜想、实验，明确证明的意义和必要性

难点：理解并能简单运用证明的基本方法，选取合适的策略解决问题

六、教学过程

引入新知：

（一）认识事物的手段之一：观察

1.比一比：找两位实际身高相同，但胖瘦不一的学生先后上讲台，让剩余学生观察后猜测两人谁高。最后请两位同学同高度站立，验证同学们的猜想是否正确

【设计意图】受视觉感官的影响，同等高度但胖瘦不一的两人给人的身高上的预计会很容易产生偏差，在这一活动环节中肯定会有很多同学认为瘦的那个同学更高一些，但猜测两人身高相同的同学却为数不多。最后验证答案时，学生会感悟到：仅通过观察得到的结论，其正确性不确定，结论需要验证！

2.猜一猜：如图中的两条线段AB与CD哪一条更长一些？最后请同学们开动脑经尝试验证自己的猜想

【设计意图】看上去线段AB明显比线段CD长，就究竟结论是否正确还需同学们集思广益，想验证方法，比如：①度量线段AB、CD的长度；②用圆规截取线段

CD后与线段AB进行比较验证后都会发现：出乎意料的是其实线段CD反而更长，眼见不一定为实，眼睛欺骗了我们，这一活动也告诉我们：数学结论需要验证！

[知识链接]这是由于：人的眼光纵向移动和横向移动相同距离时，纵向移动比横向移动花的时间多，所以如果观察两条相等的线段，那么直觉是纵向的线段比横向的线段长。加之线段CD被截断了，看似更短

A

C B D

3.

验一验：图中两组圆的中央各有一个圆，这两个圆一样大嘛？请同学们先观察，再度量（直接观察的话，很明显觉得左边中央的圆更大，但度量后发现中央的两个圆其实一样大）

【设计意图】通过以上三个数学活动，让学生经历针对这几个简单问题选用最便捷的手段（观察法）来得到结论的过程，但在这一系列体验中都发现：仅由观察得来的结论其正确性都有待检验，通常我们可通过实验操作来验证结论是否正确

4.让学生判断图中的四边形是否为正方形（具体图形看PPT）

提问学生：通过以上四个例子，同学们有什么感悟与收获？畅所欲言

活动小结：仅凭观察得到的结论的正确性需要验证，眼见不一定为实，而验证的较基本的方法之一是：实验操作（度量、比较、转化等具体方法）

（二）认识事物的手段之二：实验操作

1.

集思广益，交流讨论：把左图中长方形草坪中间1m宽的直道，改成右图中处处1m宽的“曲径”.

提问：①

直道与曲径的长度一样吗？有何方法验证？

②

直道与曲径的面积一样吗？有何方法验证？

③

改变曲径的形状，曲径的面积还等于直道的面积吗？

[解决思路]将图（2）中的小道左边的草坪整体往右平移1m，则得到一个长为（a-1）m、宽为bm的长方形，那么拼接后的长方形的面积为b（a-1）（m2）.于是，“曲径”的面积为原长方形面积 - 拼接面积 = ab-b（a-1）= b （m2）. 而直道的面积为1·b = b（m2），故可证得：两条小道的面积相等

（补充）简单方法：平移过后空出来的长方形面积即为曲径的面积

【设计意图】学生在经历了上面三个由观察法直接得错误结论的经验教训后，不会再盲目通过“看”来得到答案，他们会谨慎些进行思考，这就已经达到了第一层次的教学目标。其次，这个问题情境中涉及“曲径的宽处处相等”，这就需要想到平移“移花接木”的思想方法，对学生的思维要求较高，可由学生分组讨论共同寻求解决办法，与此同时培养学生分析与思考问题、合作交流、语言表达的能力

2.

动手做一做，验一验：如左图是一张88的正方形纸片，把它剪成4块，按右图重新拼合.请问：这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？试着证明一下

[解决方法] ①剪纸拼接，这个方法可提前让学生准备好正方形纸片，并按照要求剪成4片，拼接完成后会发现：长方形中间会空开点，边缘并不能完全紧贴；

②等面积法：正方形面积为64，而长方形面积为65，两者面积不等，不可能拼接成功；

③特殊角法：如图（2）右下角：以3和8为两条直角边的直角三角形的较小的锐角与三边为3,5,5的直角梯形的右下角的锐角并不互余，故拼不出直角来

【设计意图】这个问题可以通过多种途径来验证结论，培养了学生的发散性思维和多角度分析问题、解决问题的能力

活动小结：观察法得到的结论通常可利用实验操作来验证正误，而实验操作过程中，也可通过书面证明过程来完成，学生初步接触到证明的书写

（三）认识事物的手段之三：（猜测）合情推理+（证明）演绎推理（层次深入）

1.

教师范例：当x=-5、-0.5、0、3、7.5时，分别计算代数式5-2x-x2的值. 同学们再任意取数，集合整班同学的数据发现所有的数据都不大于6. 这是为什么呢？引发学生思考.继而提问：同学们能否试着说明缘由？

2[证明过程] 因为5-2x-x2（

-x22x-5）（-x22x1-6）（-x1）66，所以x无论取什么值，代数式5-2x-x2的值都不大于6. 提问：①

你是用什么方法来说明其他同学的说法是错误的？

②

你是用什么方法来证明自己的结论是正确的？

【设计意图】先让学生经历归纳的过程，发现取了大量的数值代入代数式后，代数式的值都有一定范围；再进行类比，是否x取任何数都能满足这一规律？这一系列的心理过程实际上都是合情推理的范畴.继而上升到验证“为什么”，通过演绎推理，即通过合乎逻辑且方法适当的证明过程来完成验证。

补充欧拉的名言“举出反例是检验错误数学结论的有效方法”，提及举反例法

2.

习题巩固：

（1）任意写2个相邻偶数，计算较大偶数的平方减去较小偶数的平方的差；

（2）换2个相邻偶数，仿照（1）再试试，你发现了什么？

（3）证实你发现的结论

[解决思路]设这两个相邻偶数分别为2n和2n+2，则这两个相邻偶数中间的奇数22为2n+1.则（2n2）（-2n）4n28n4-4n28n44(2n1)

即证得：相邻两个偶数，较大偶数的平方减去较小偶数的平方等于这两个相邻偶数中间奇数的4倍. 【设计意图】在上一个问题中已经设计到简单的证明思路以及书写过程，学生在上一题的基础上再完成本题，难度降低了许多，学生在解决问题的过程中也锻炼到了证明的简单书写以及常规思路

活动小结：这一环节才真正意义上进入到证明的书写教授，书面证明主要还是利用代数、符号（包括后续学习会涉及到的几何书写的证明）

七．课堂小结：学生总结本课收获，畅所欲言

①观察法虽便捷且直观，但由于视觉影响，得到的结论常常会出错，故通常可利用实验操作来验证结论的正确性，眼见不一定为实

②实验操作过程中可借助推理证明来验证结论的正误

③合情推理只是猜测，最终还是要通过演绎推理来验证

④学习并掌握：基本的认识事物的方法

八．布置作业

“证明（1）”随堂小练习【见附件】