三角形中的垂直平分线优质教案设计

3 线段的垂直平分线

第2课时

三角形三边的垂直平分线及尺规作等腰三角形

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

2．能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线．

3．已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形．

二、重难点目标

【教学重点】

作已知线段的垂直平分线．

【教学难点】

垂直平分线的应用．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P24～P26的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．通过阅读理解教材P24例2得出：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

2．如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(

B

)

A．6

C．4

B．5

D．3 3．如图所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连结BE，则∠CBE等于(

C

)

A．80°

C．60°

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．

B．70°

D．50°

【互动探索】(引发学生思考)售票中心的位置有什么特征？(三个娱乐项目到售票中心的距离相等)→怎样确定售票中心？(利用垂直平分线上的点到三边的距离相等解决问题) 【解答】如图，连结AB、AC，分别作线段AB、AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则P即为售票中心．

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了线段垂直平分线的性质，难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．

【例2】在△ABC中，点O为边AB、AC的垂直平分线的交点，请写出∠BOC和∠A的数量关系并说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)三角形三边的垂直平分线有什么特征？(到三个顶点的距离相等)→怎样求∠BOC和∠A的数量关系？(作辅助线，得到等腰三角形，从而得到角之间的关系) 【解答】∠BOC＝2∠A.理由如下：连结OA.∵点O为边AB、AC的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠OBA＋∠OCA＝∠A.又∵在△ABC中，∠OBC＋∠OCB＝180°－(∠OAB＋∠OBA＋∠OAC＋∠OCA)＝180°－2∠A，

∴在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(180°－2∠A)＝2∠A，即∠BOC＝2∠A. 【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了“线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等”和“等边对等角”，以及三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．如图所示的是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(

B

)

A．△ABC的三条中线的交点

B．△ABC三边的中垂线的交点

C．△ABC三条角平分线的交点

D．△ABC三条高所在直线的交点

2．如图，已知△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝100°.

3．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O.求证：OA＝OB＝OC.

证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD垂直平分BC.∵AB的垂直平分线与AD交于点O，∴OB＝OC＝OA(三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)．

4．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°. (1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连结BE.求证：EF＝2DE.

(1)解：如图所示，直线l即为所求．

(2)证明：在Rt△ABC中，∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠ABC＝60°，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴∠AED＝∠BED＝60°，∴∠EBC＝30°＝∠EBA，∴BE为∠ABC的平分线．又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED＝EC.在Rt△ECF中，∵∠FEC＝∠AED＝60°，∴∠EFC＝30°，∴EF＝2EC，∴EF＝2ED.

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

练习设计

请完成本课时对应练习！