1.3 一元二次方程的根与系数的关系教学设计及说课稿

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

【学习目标】

1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。

知识框图

求代数式的值

求待定系数

一元二次

韦达定理

应用

构造方程

方程的求

解特殊的二元二次方程组

根公式

二次三项式的因式分解

【内容分析】

韦达定理：对于一元二次方程axbxc0(a0)，如果方程有两个实数根x1,x2，那么

2bcx1x2,x1x2

aa说明：（1）定理成立的条件0

（2）注意公式重x1x2根系关系的三大用处

（1）计算对称式的值

例

若x1,x2是方程x2x20070的两个根，试求下列各式的值：

(1) x12x22；

(2) 2b的负号与b的符号的区别

a11；

x1x2(3) (x15)(x25)； (4) |x1x2|．

解：由题意，根据根与系数的关系得：x1x22,x1x22007

(1) x12x22(x1x2)22x1x2(2)22(2007)4018

(2) 11x1x222

x1x2x1x220072007(3) (x15)(x25)x1x25(x1x2)2520075(2)251972

(4) |x1x2|(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2)24(2007)22008

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

x12x22(x1x2)22x1x2，11x1x222，(x1x2)(x1x2)4x1x2，

x1x2x1x2

|x1x2|(x1x2)24x1x2，x1x22x12x2x1x2(x1x2)，

x13x23(x1x2)33x1x2(x1x2)等等．韦达定理体现了整体思想．

【课堂练习】

2221．设x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的两根，则x1＋x2的值为_________ 22．已知x1，x2是方程2x－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，

2（x1－x2）＝ 123．已知方程2x－3x+k=0的两根之差为2

，则k= ; 24．若方程x+(a－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ; 225．若关于x的方程x+2(m－1)x+4m=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ; 26．

设x1,x2是方程2x－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：

1122(1)x1x2+x1x2 (2)

－ x1x27．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

22112x1x22

（2）构造新方程

理论：以两个数例

解方程组 x+y=5 为根的一元二次方程是。

xy=6

解：显然，x，y是方程z-5z+6＝0 ①

的两根

由方程①解得 z1=2,z2=3 ∴原方程组的解为 x1=2,y1=3

x2=3,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围

2例

一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。

解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为由题意知

△＝k-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4 2的两根，则c=2

∴

【典型例题】

为所求。

例1 已知关于x的方程x(k1)x212k10，根据下列条件，分别求出k的值．

4(1) 方程两实根的积为5；

(2) 方程的两实根x1,x2满足|x1|x2．

分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是x1x20，二是x1x2，所以要分类讨论．

解：(1) ∵方程两实根的积为5

122[(k1)]4(k1)034k,k4

∴

2xx1k215124所以，当k4时，方程两实根的积为5．

(2) 由|x1|x2得知：

①当x10时，x1x2，所以方程有两相等实数根，故0k

3；

2②当x10时，x1x2x1x20k10k1，由于

0k3，故k1不合题意，舍去．

2

综上可得，k3时，方程的两实根x1,x2满足|x1|x2．

2说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0．

例2 已知x1,x2是一元二次方程4kx4kxk10的两个实数根．

(1) 是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)23成立？若存在，求出k的值；2若不存在，请您说明理由．

(2) 求使x1x22的值为整数的实数k的整数值．

x2x13成立．

2解：(1)

假设存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)

2

∵

一元二次方程4kx4kxk10的两个实数根

4k0

∴

k0，

2(4k)44k(k1)16k0

又x1,x2是一元二次方程4kx4kxk10的两个实数根

2

x1x21

∴

k1

x1x24k ∴

(2x1x2)(x12x2)2(x12x22)5x1x22(x1x2)29x1x2



k93k4k29，但k0．

53成立．

2

∴不存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)

x1x2x12x22(x1x2)24k4

(2)

∵

2244x2x1x1x2x1x2k1k1∴

要使其值是整数，只需k1能被4整除，故k11,2,4，注意到k0，

要使x1x22的值为整数的实数k的整数值为2,3,5．

x2x1说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．

(2) 本题综合性较强，要学会对4为整数的分析方法．

k1

一元二次方程根与系数的关系练习题

A

组

1．一元二次方程(1k)x22x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(

A．k2

2) B．k2,且k1

C．k2

D．k2,且k1

2．若x1,x2是方程2x6x30的两个根，则A．2

B．2

11的值为( ) x1x21

2

D．

C．9

23．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2(2m1)xm230的根，则m等于( )

A．3

B．5

C．5或3

D．5或3

24．若t是一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根，则判别式b4ac和完全平方式M(2atb)2的关系是(

A．M

)

C．M

D．大小关系不能确定

B．M

225．若实数ab，且a,b满足a8a50,b8b50，则代数式b1a1的a1b1值为(

)

2A．20 B．2

C．2或20

D．2或20

6．如果方程(bc)x(ca)x(ab)0的两根相等，则a,b,c之间的关系是

______

7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x8x70的两个根，则这个直角三角形的斜边长是

_______ ．

8．若方程2x(k1)xk30的两根之差为1，则k的值是

_____ ．

9．设x1,x2是方程xpxq0的两实根，x11,x21是关于x的方程xqxp0的两实根，则p= _____ ，q= _____ ．

10．已知实数a,b,c满足a6b,cab9，则a= _____ ，b= _____ ，c= _____ ．

11．对于二次三项式x10x36，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．

222222

212．若n0，关于x的方程x(m2n)x1mmn0有两个相等的的正实数根，求的4n值．

13．已知关于x的一元二次方程x2(4m1)x2m10．

14．已知关于x的方程x(k1)x

2(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2) 若方程的两根为x1,x2，且满足111，求m的值．

x1x2212k10的两根是一个矩形两边的长．

4(1) k取何值时，方程存在两个正实数根？

(2) 当矩形的对角线长是5时，求k的值．

B

组

1．已知关于x的方程(k1)x2(2k3)xk10有两个不相等的实数根x1,x2．

(1) 求k的取值范围；

(2) 是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由．

2．已知关于x的方程x3xm0的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x的方程2(k3)x2kmxm26m40有实数根．

3．若x1,x2是关于x的方程x(2k1)xk10的两个实数根，且x1,x2都大于1．

(1) 求实数k的取值范围；

(2) 若22x11，求k的值．

x22

答案

A组

1．

B 2．

A 3．A 4．A 5．A 6．ac2b,且bc

7．

3

8．

9或3

9．p1,q3

11．正确

12．4 10．a3,b3,c0

213．(1)16m50 (2)m14．(1)k

1

23 (2)k2

2B组

13且k1

(2) 不存在

122．m1

(1)当k3时，方程为3x10，有实根；(2) 当k3时，0也有实根．

33．(1) k且k1

；

(2) k7．

41．(1)k