8.2 幂的乘方与积的乘方教学设计实例

幂的乘方与积的乘方

一、教学要求、

1. 体会幂的意义，会用同底数幂的乘法性质进行计算，并能解决一些实际问题。

2. 会用幂的乘方、积的乘方性质进行计算，并能解决一些实际问题。

二、重点、难点：

1. 重点：

（1）同底数幂的乘法性质及其运算。

（2）幂的乘方与积的乘方性质的正确、灵活运用。

2. 难点：

（1）同底数幂的乘法性质的灵活运用。

（2）探索幂的乘方、积的乘方两个性质过程中发展推理能力和有条理的表达能力。

三. 知识要点：

1. 同底数幂的意义

n个n几个相同因式a相乘，即a·a·…·a，记作a，读作a的n次幂，其中a叫做底2327同底数幂是指底数相同的幂，如：2与2，a与a，(ab)与(ab)，xy与354数，n叫做指数。

2

xy3等等。

注意：底数a可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式。

2. 同底数幂的乘法性质

am·anamn（m，n都是正整数）

这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，例如：

am·an·apamnp（m，n，p都是正整数）

3. 幂的乘方的意义

53(a)是三个a5相乘

幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如m读作a的五次幂的三次方，(a)是n个a相乘，读作a的m次幂的n次方

mn

(a5)3a5·a5·a5a555a53n个n个mnmmmmm…m(a)a·a·…·aaamn

4. 幂的乘方性质

(am)namn（m，n都是正整数）

这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。

注意：（1）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。

（2）此性质可逆用：amnam。

n

5. 积的乘方的意义

3nab，ab积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如等。

ab3ababab（积的乘方的意义）

a·a·ab·b·b（乘法交换律，结合律）

33a·b

abnabab…ab

a·a…ab·b…bn个n个nn

a·b



6. 积的乘方的性质

(ab)nan·bn（n为正整数）

这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

注意：（1）三个或三个以上的乘方，也具有这一性质，例如：

abcnan·bn·cn

nn（2）此性质可以逆用：a·bab

n

四、典型例题

例1. 计算：

11·2

（1）2（3）a·a

2623

102a·a·a

（2）

（4）32781

2

111·222解：（1）（2）a·a·aa1021021232311232

5a13

26268a·aaa（3）

（4）327813333m223423439

例2. 已知a

（1）am12，an3，求下列各式的值。

（2）a3n

（3）amn3

分析：此题是同底数幂的乘法的逆用，将幂拆分成几个同底数幂的积。

（1）a（2）am1am·a2a

a3·an3a3

3nmn3mn33aa·a·a6a（3）

例3. 计算：

23x2y·2yx（1）

23abcbcacab（2）

解：（1）方法一：

x2y2·2yx32yx2·2yx32yx5

方法二：

x2y2·2yx3x2y2·x2y3x2y5

23abcbcacab（2）

bcabcabca

例4.

计算：

（1）23bca6

223

（2）x44

（3）x32x23

（4）

a2n22·an1

32解：（1）（2）2322326

x44x44x162（3）x3（4）x23x6x6x66x12

a2n224·an13a22n2a3n1a4n4a3n34n43n3

例5.

解下列各题。

（1）

aa7n1

x5x43

5

12ab

（2）22ab·a2ab3a·b（3）2323222236a4b6

解：（1）x54x45x20x2003

12132ab·a·b2（2）2（3）331a3b68

232ab2·a2a2b3323a2·b2648a3b6·a4a4b69a4

·b6ab66a4b6

8a4b64a4b69a4b66a4b6a4b6m

例6. 已知x

2，xn3，求x2m3n

mnx，x分析：此题是幂的乘方和积的乘方性质的运用，把看作整体，带入即可解决问题。

解：x2m3nx2m·x3nxm·xn232233108

例7. 计算：

1617(0125.)(8)

（1）

5

（2）13

（3）200213522001

.012515153

分析：此题应该逆用幂的运算性质：

amnam·an；an·bnab；amnam16nannm

.)

（1）解：(012516(8)17

161·8·88188818

161682002

5

（2）解：1313520012001

20015513131352001

55131313551200113513.012515

15

（3）解：2151530125.230125.8

151

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一. 选择题。

1. x·x的计算结果是（

）

A. x

523

B. x

6

C. x

7

D. x

8

2. 下列运算正确的是（

）

A. 2xy3xy5xy

325x·xxB.

223C. aa32325231

D. 2xx3x

m

3. 若a

2，an3，则amn等于（

）

10A. 5 B. 6

C. 2

3

D. 3

210

4. 22所得的结果是（

）

A. 2

11

B. 2 11

C. 2

D. 2

5. 若x、y互为相反数，且不等于零，n为正整数，则（

）

A. x、y一定互为相反数

nn

11、xy一定互为相反数

B. C. x、y一定互为相反数

2n12n1x、yD. 一定互为相反数

2n2nnn

6. 下列等式中，错误的是（

）

A. 3x6x9x

333

B. 2x3x1

22

C. 3x6x18x

336

D. 3x36x312

4n1n1

7. 4成立的条件是（

）

A. n为奇数

B. n是正整数

C. n是偶数

D. n是负数

35

8. a·axma56，当x5时，m等于（

）

A. 29

B. 3

C. 2

D. 5 2，y33n

9. 若xnn，则xy等于（

）

A. 12

B. 16

C. 18

D. 216 2nx3n24x22n

10. 若n为正整数，且x7，则3的值是（

A. 833

B. 2891

C. 3283

D. 1225 二. 填空题。

1. 2xmn·xmn·3x（

）

2. xy3·yx7xy()

3. xyp·yx2n·xy3m（

）

4. 10010310104（

）

5. 21012100（

）

6. 若a3nany，（n，y是正整数），则y（

）

7. 0125.10810（

），810005.300（

）

8. 若a2n1·a2n1a8，则n（

）

9. 一个正方体的边长是11.102cm，则它的表面积是（

）

三. 计算：

（1）mn2nm2nm3

（2）x3·xn1xn2·x4xn2

（3）ab·ba·ba2ab2·ba2

）

2a·a·a·a（4）22k2k1

22（5）（6）3x2y23x·y·xy324

2a63a322a23

22

四. （1）若a

n1·amna6，且m2n1，求mn的值。

（2）若ab2，ac1，求2abcca的值。

五. （1）若

an1n2n，b3ab2，求的值。

2002200120012002（2）试判断的末位数是多少？

【试题答案】

一. 选择题。

1. A

6. B

二. 填空题。

1. 6x2m12. B 7. C

3. B 8. C

4. A 9. D

5. C 10. B

p2n3m

2. 10 4. 10

6. 3 8. 2 10

3. xy

5. 2100

2

7. 1，1

9. 72600cm

三. （1）mn

（3）2ab

6636xy

（5）7

n

（2）x（4）an2

44k5（6）9a

6四. （1）m3，n1，m3

（2）10 9五. （1）4

cf

（2）3