10.5 分式方程板书设计

复习课

《分式方程》

教学设计

扬中市外国语中学 蔡雪梅

教学内容分析

分式方程是初中数学的重点内容，本节课是苏科版版八年级下册第十章《分式与分式方程》第3节—分式方程的复习课，教学重点是分式方程的定义、解法、增根及应用，难点是增根和应用，让学生在学习过程中体会“转化”、“方程”的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。

学生学情分析

我校从2011年以来实行高效课堂，学生经过培养，具备了合作、交流、展示、点评、质疑、分析问题、解决问题的能力，前几节课学生已经学习了分式方程的有关知识，为本节课的复习打下了基础。

教学目标设置

（1）知识与技能

1.进一步掌握分式方程的定义、解法、增根及应用。

2.熟练利用分式方程分析问题、解决问题。

（2）过程与方法

1.通过“互学、独学、对学、合学、群学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进学生对知识的掌握。

2.体会“转化”

、“方程”的数学思想解决问题。

（3）情感与态度

1.进一步体会数学与生活的联系，了解数学的价值。

2.增强学生合作与交流的意识，培养学习的兴趣。

教学重点和难点分析

重点：进一步掌握分式方程的定义、解法、增根及应用。

难点：进一步理解增根的条件，灵活应用分式方程解决实际问题。

教学策略分析

1.在教学中，给学生提前配发导学案进行预习，在课堂中我采用了引导式、探究式的教学方法，以“问题串”的形式，“学生为主体，老师为主导，练习为主线”的思路贯穿整个课堂，并结合了多媒体辅助教学。

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2.在学法中，通过“互学、独学、对学、合学、群学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进学生对知识的掌握。

教具准备

教师：教学设计、电子白板、幻灯片若干张、小组评价表、彩色粉笔、激光灯。

学生：课本、导学案、学生分成8个小组（每组4人，有1号、2号、3号、4号，每人答对或答错都有不同的加分）根据分数评出本节课的优秀小组和优秀个人以资鼓励。

梳理知识

知识框架图：（边出示幻灯片边设计板书）

分 母

常数代原方程检验

定义

增根

整式方程的根

最简公分母为0 未知数

分去分母

式方 去括号

程

正确性

化系数为1

移 项

解法

应用

审

找（关键）

设

合并同类项

列

正确性

解

验（双重）

验（三重）

增 根

增 根

答

实际意义

【设计意图】老师提问学生，以框架图的形式梳理本节课知识点，并重点性的板书，提问主要针对3号、4号学生，让他们都积极参与课堂。本环节设计的主要目的是：使学生对本节课的知识有个整体的认识，形成清晰的思路，以便更好地完成学习目标。

教学过程

本节复习课共设计了十个教学环节：第一环节：定义跟踪；第二环节：巩固练习；第三环节：拓展延伸；第四环节：直击难点；第五环节：中考衔接；第六环节：回顾与

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反思；第七环节：当堂检测；第八环节：小组评价结果；第九环节：布置作业；第十环节：课外思考题（随机题）。

一、

定义跟踪（师生互学）：（出示幻灯片）

指出下列关于x的方程中，是分式方程的是

（只填序号）. ①124x62x9x5x18

②311

⑤xx1

③

④21xx232xab（师：请3号或4号学生直接口头展示，有疑问的请其他学生补充，老师质疑、强调、纠正）

【问题诊断分析】通过此题理解：像①、③、⑤题中这样的方程为什么不是分式方程？它们应该是什么方程？分母中含有未知数的方程叫做分式方程，分式方程的特征是：（1）方程中含有分母，（2）方程的分母中含有未知数。分母中是否含有未知数是区别分式方程与整式方程的标志，①、②、③、④题学生很容易掌握，⑤题学生不容易掌握，老师要点拨分析，如何看待其分母中的字母a和 b？本题中的方程是关于x的方程，未知数是x，其他字母都为字母常数。要注意分式方程与含有字母已知数方程的区别，学生容易出错，应着重强调。

【设计意图】这一环节的设计，考察学生对基础知识的掌握，不是简单的让学生重复定义，而是通过展示一组方程让学生进行辨别，在此过程中学生必将调动自己对分式方程定义的理解，同时还要注意区分分式方程与整式方程，

⑤中辅助字母的设计又帮助学生理解分式方程定义的关键点——分母中含有未知数，所以本设计可以说是站在较高的层次上对分式方程定义的复习。

二、巩固练习（学生独学）：（出示幻灯片）

解分式方程：

3xx411

4x（师：先请学生独立完成后，老师再请一位3号或4号学生口头展示，有疑问的请其他学生补充，有必要时老师补充、纠正）

解分式方程的一般步骤：

（1）去分母（方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程）

（2）去括号（利用去括号法则）

（3）移项（移谁改变谁的符号）

（4）合并同类项（利用合并同类项法则）

（5）化系数为1（系数是谁方程两边同时除以谁）

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（6）验（双重）

【把所求得的未知数的值代入原分式方程进行检验，一看是否解方程正确，二看是否是增根，即：如果未知数的值使原分式方程的分母为0，则说明是增根，所以原分式方程无解，如果未知数的值使原分式方程的分母不为0，则说明不是增根，是原分式方程的根。】

【问题诊断分析】学生有可能在解题过程中：(1)最简公分母确定的不准确；(2)去分母时漏乘整式项；(3)去分母时忽略符号的变化；(4)忘记检验。通过这道题的解法，让学生更进一步知道，产生增根的原因是：在去分母时给分式方程的两边同乘以最简公分母，最简公分母可能为0了，则原分式方程就没有意义了，所以最后的检验是必须的。

【设计意图】因为解分式方程是要求学生掌握的基本技能，所以先让学生复习解分式方程的一般步骤，然后让学生明确解题过程中应注意的问题。再通过独立解题过程中学生出现的问题，反思解题中常出现的错误，从正、反两个方面加深学生对知识的理解和掌握。

三、拓展延伸（学生对学）：（出示幻灯片）

m31的根是非负数，求m的取值范围。

已知关于x的分式方程x11x（师：先请学生想一想，然后分配任务：让学生对子交流订正，1号和4号，2号和3号，完成后，谁愿意上黑板展示，谁又愿意上黑板点评就上来，点评完，有疑问的请其他学生补充，在这里老师要点拨、强调）

m3【问题诊断分析】学生大多数可能只是这样做的:

“m31，

1，x11xx1x1m-3=-(x-1),m-3=-x+1,x=1+3-m,x=4-m,∵x≥0,∴4-m≥0,-m≥-4,m≤4,所以答案就是：m≤4”.但是原分式方程是有根，所以要排除增根，要限制最简公分母x-1≠0,x≠1,即：4-m≠1,-m≠1-4,-m≠-3,m≠3,综合起来正确答案就是：m≤4且m≠3。学生有可能要补充最简公分母x-1≠0，这一点由于学生审题不严最容易出错，老师要重点强调。另外可以让学生对这道题提出一种质疑并再请其他学生帮助解决，质疑可能有：根是非正数、根是负数、根是正数等等，则m的取值范围又是多少呢？

【设计意图】解分式方程是基本的计算题题型之一，用途很广很重要，引入不同的题型，变式类似的题型，使学生更进一步掌握分式方程的定义、解法及增根，培养学生计算能力和解决问题的能力。

四、直击难点（学生合学）：（出示幻灯片）

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xn1若分式方程

有增根，试求n的值。

x1(x1)(x2)（师：先请学生考虑考虑后分配任务：学生小组合作交流，完成后请一位1号学生上黑板展示，再请一位1号学生上黑板点评，有疑问的请其他学生补充，有必要时老师强调、纠正并补充）

【问题诊断分析】学生有可能对增根的条件考虑不周而导致错误，增根满足的条件：①必须使最简公分母为0；②必须是去分母后的整式方程的根；③把求出的常数值代入原分式方程中，如果能求出相应的x的值，则说明常数存在，增根也存在；如果求不出相应的x的值，则说明常数不存在，增根也不存在，应舍去。对于这道题有一定难度，学生由于对增根条件理解不透，容易出错，求出n的值为0或3，经过第三个条件的检验, n的值为3,所以检验是非常有必要的，老师应该着重强调。

【设计意图】由于分式方程的增根问题是学生理解上的难点，学生在学过的情况下可能还会存在疑惑，因此安排了“直击难点”这一环节进行训练，所选题是在理解增根基础上的灵活应用，能够帮助学生较好的理解增根条件，并能利用其解决问题。

五、中考衔接（师生群学）：（出示幻灯片）

1. A、B两个小组的同学参加“绿化祖国”植树活动，已知B组每小时比A组多种2棵树，A组种60棵树所用的时间与B组种66棵树所用的时间相等，若设A组每小时种x棵树,则可列方程为（ ）

606660666066606622A. B. C. D. XXXXX2XXX22. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3,小明家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费是30元。已知小明家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格。

（师：第一道题请一位3号或4号学生口头展示；第二道题和学生一起审题并请学生口头展示找出三个等量关系，然后分配任务：让学生小组讨论完成后请一位1号或2号学生上黑板展示，再请一位1号或2号学生上黑板点评。有疑问的请其他学生补充，有必要时老师纠正、补充）

【问题诊断分析】第一道题相对简单，学生都能解决。对于第二道题：“从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3,而又求今年居民用水的价格”，学生可能对这个关系不能很好的理解，不能正确的找出等量关系，难设未知数，所以出现问题较多，老师应该再重新举例，这样才能更好地突破解这类题的难点。

【设计意图】通过这一环节的练习，不但让学生能够熟练的建立分式方程数学模型解决

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实际问题，培养了学生的数学应用意识，强化数学与生活的密切联系，突破了难点，而且又关注社会热点——保护环境问题和水资源问题。教育了学生要热爱生命、保护环境，热爱生活、提倡节约。

六、回顾与反思：（出示幻灯片）

同学们通过自学课本、导学案，课堂学习后，谈谈你的收获？你还有什么困惑？你获得

的数学思想？（学生交流后老师请学生回答） . 【设计意图】学生自己畅所欲言谈收获，既对本节知识的复习，又对学生的归纳、表达能力进行了训练。

七、当堂检测：（出示幻灯片）

xk21、若关于x的分式方程会产生增根，试求k的值。

x3x32、八年级（1）班学生周末乘汽车到旅游区春游，旅游区距学校120km，一部分学生乘慢车先行，出发0.5h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区。已知快车的速度是慢车的1.2倍，求慢车的速度。

【问题诊断分析】通过本节课的复习，第一题，学生可能都能掌握，第二题，1号、2号学生都能掌握，3号学生可能掌握，对于4号学生难度较大，所以下去以后，1号小组长、老师多帮助他们，另外，老师平时应对他们进行相应的交流和辅导。

【设计意图】让学生独立完成，老师先订正小组长并评价加分后，小组长再订正小组内其他成员。通过这两道题的解答，一方面，让学生能很好的理解增根的条件、利用分式方程数学模型解决实际问题，从而突破本节课的难点，达到复习课预期的目的，培养了学生解决问题的能力；另一方面，检测学生掌握情况，以便老师在后面教学中做到心中有数、因材施教。

八、小组评价结果：（黑板显示）

①优秀小组 ②优秀个人 【设计意图】每个教学环节都能对学生及时的评价，最后做出综合评价，这样能激发学生的学习热情，改变学生的学习态度，不管在课堂中还是在课间，都让学生形成一种：比、学、赶、帮、超的精神，提高了学生的合作能力、竞争意识，以便将来为社会做出贡献。

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九、布置作业：（出示幻灯片） 课本P132 第10、12题

【设计意图】做作业是学生巩固知识的有力保证，从而培养了学生自学能力和独立分析问题、解决问题的能力。

十、课外思考题：（随机题

出示幻灯片）

请你联系生活实际编写一道分式方程的应用题，并解答。

【设计意图】通过本节课的学习，是对数学学有余力、更加感兴趣的学生进行能力提高，使他们得到更高的发展空间。

板书设计

复习课 分式方程

一、分式方程的定义：①

②

二、解分式方程的一般步骤：①

②

③

④

⑤

⑥验

三、增根的条件：

①必须使最简公分母为0。

②必须是去分母后整式方程的根。

③代入原分式方程检验。

四、列分式方程解应用题的一般步骤：

①审 ②找（关键）

③设 ④列 ⑤解 ⑥验

⑦答

五、思想：

转化 方程

【设计意图】使学生对本节课的知识点能整体、直观的理解和识记。

教学反思

1、亮点：

①本节课是分式方程的复习课，课前组织，安排有序，有课代表反馈家庭作业情况。

②在高效课堂的模式下，学生通过课前预习课本、导学案，课堂上老师以问题串的形式设计了知识框架图，通过知识框架图呈现知识结构，使学生对本节知识有系统的把握，把所学知识条理化、系统化，有助于训练学生概括、归纳能力。通过“互学、独学、对学、合学、群学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进了学生对知识的掌握，提高了分析问题、解决问题的能力。通过逐渐递进的练习，较好的达到复习巩固的目的，这样的程序符合学生的认知规律，使1号、2号、3号、4号的学生得到了不同的发展和提高，但对于4号学生而言，学起来比较费劲，所以我们要充分发挥高效课堂小组建设，老师要多培训、多指导小组长1号学生，让小组长起带头作用、模范作用，

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帮助4号学生。另外，老师平时要多和4号学生交流、沟通、谈心，不要使他们厌学、失去信心，做到教育公正、平等。

③学生学习过程中，进一步渗透了“转化”、“方程”的数学思想，了解了数学的价值，培养了学习的兴趣。展示阳光，点评精彩，补充到位，每个教学环节都能对学生及时的评价，最后综合评价。

④信息技术电子白板运用的今天，给教师和学生带来形象、生动、直观、具体、方便的东西真多，效果也非常好，使我受益匪浅，比起以前的教学工具和手段，又省时省力，我今后在教学中应大力提倡、运用。

2、不足：

①应用题第2题中，第一个等量关系突破的不是很好。

②老师的语言表达欠佳。

针对不足我做以下两点改进：

①应用题第2题中，第一个等量关系2位学生答错了，应该在第3个学生答对以后就重新举例，这样能更好地突破这类题的难点。

②多请教多学习，提高语言表达能力。

当然，很难有完美的课堂，本节课虽已突出重点，突破难点，但仍有不足之处，希

望各位专家，提出宝贵的意见和建议，因为我还年轻，我会不断学习，不断总结经验，提高教学水平，谢谢大家！

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